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- 이번시간에는 행렬의 영공간에 대해 알아본다
- m x n 행렬을 이루는 열벡터가 모두 m차원이라면, 열공간은 각 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있다.
- 이 때 열공간은 각 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있으며, 행렬 A의 열공간은 각 벡터들로 구성된 span이다.
- 그렇다면 행렬 A의 열공간에 벡터 a가 원소로 포함되어 있을 때 열공간이 유효한 열공간인지 알아보자
- 벡터 a는 덧셈에 닫혀있는가?
- 이를 위해 벡터 a와 우변에 스칼라값 S를 곱해준다.
- 그리고 벡터 b가 열공간의 원소라고 할 때, 스칼값 $b_n$을 곱한 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있다고 하자.
- 이후 $\vec{a}+\vec{b}$를 수행하면 벡터들의 또 다른 선형결합이 되므로, C(A)는 유효한 부분공간이 된다
- 두번째로는 벡터 x의 값은 $\mathbb{A}\vec{x}$를 만족시키는 모든 값을 고려해야 한다는 것이다
- m x n의 행렬 A와 벡터 x를 연산한 값이 선형 결합으로 나타날 경우 n차원에 있는 임의의 벡터 x를 고를 수 있다.
- 이를 다시 집합으로 나타내면 벡터 x의 원소가 실수일 때 각 열벡터는 벡터 x의 원소와 곱한 선형결합으로 나타낼 수 있고, 이 집합은 모든 가능한 결합의 집합을 말한다.
- 따라서 벡터 x와 행렬 A의 열벡터들의 선형 결합은 행렬 A 열공간의 모든 가능한 선형 결합을 말하며, 이는 $\vec{v_1},\vec{v_2},...,\vec{v_n}$으로 생성된다.
- 만약 $\mathbb{A}\vec{x}=\vec{b_1}$에서 $\vec{b_1}$이 행렬 A 열공간의 원소가 아니라면 방정식을 만족하는 해는 없다.
- 만약 $\mathbb{A}\vec{x}=\vec{b_2}$에서 최소한 1개의 해라도 가진다고 하는 것의 의미는 특정 $\vec{x}$가 방정식을 만족시킨다는 것이고, $\vec{b_2}$는 행렬 A 열공간의 원소가 된다.
본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.
Vectors and spaces | Linear algebra | Math | Khan Academy
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