[Khan Academy] Projection is closest vector in subspace (부분공간에서의 정사영은 가장 가까운 벡터이다)

• 이번 시간에는 부분공간으로 정사영한 벡터와 원래 벡터의 사이에 생긴 벡터가 가장 짧은 거리임을 보인다.
• 벡터 x를 부분공간 V에 정사영시킨다.
  • 벡터 x에서 정사영한 x의 벡터까지의 벡터를 a라고 하고 이는 가장 짧은 벡터가 된다.
• 여기에  V의 임의벡터 v가 주어졌다.
• 임의의 벡터 v에서 벡터 x까지의 벡터는 $\vec{x}-\vec{v}$가 될 것이다.

• 벡터 v에서 정사영 벡터 x까지의 벡터를 벡터 b라고 하자.
• 벡터 x에서 벡터 v를 뺀 길이의 제곱은 벡터 a와 벡터 b를 더한 값의 제곱과 같은데, 식을 정리하면 위와 같이 된다.

 

따라서
$||\vec{x}-\vec{v}||>=||\vec{x}-Proj_V\vec{x}||$

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본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

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