[Khan Academy] Another example of a projection matrix (변환 행렬의 다른 예제)

• 이번 시간에는 정사영식의 변환 행렬을 다른 방법으로 구해본다.
• 부분공간 V가 위와 같이 주어졌을 때 V로의 벡터 x의 정사영은 어떻게 나올까?

• 앞선 시간에 배운 것 처럼 기저를 통해 행렬을 구하는 방법이 있을 것이다. 
• 하지만 이 방법은 연산이 길기 때문에 직교여공간의 관계를 통해 변환 행렬을 구해본다.
• V로의 벡터 x의 정사영 식에서 행렬 더미를 B라고 하고, 직교여공간으로의 벡터 x의 정사영 식을 행렬 C와 벡터 x의 곱으로 나타내보자.

• 여기서 부분공간과 이의 직교여공간의 관계를 다시 생각해본다.
• 따라서 행렬 B는 3차원의 identity 행렬과 직교여공간의 변환 행렬의 차로 구성된다.

• 다시 부분공간 V를 고려하면, 이는 원소가 모두 1인 벡터와 V의 원소벡터를 곱한 것이 영벡터를 만족하는 것이다.
• 이때 부분공간 V는 주어진 행렬의 영공간이되며, 직교여공간은 [1 1 1]벡터로 생성됨을 알 수 있다.

• 이 때 직교여공간을 생성하는 벡터를 행렬 D라고 하였을 때 직교여공간으로의 벡터 x의 식에 대입하여 행렬 C를 구할 수 있다

• 따라서 행렬 B는 위와 같이 구할 수 있다.

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본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

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