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- 이번 시간에는 부분공간으로의 정사영이 선형변환인지 알아본다.
- V가 n차원의 부분공간이고, 벡터 a가 부분공간 V의 원소라 하자.
- 이 때 벡터 a를 V의 기저를 이용한 선형결합으로 나타낼 수 있다.
- 이는 벡터 a를 행렬 곱으로 나타낼 수 있다는 것과 같다.
- 여기서 n차원의 벡터 x를 부분공간 V로 사영시킨 것은 부분공간 V의 원소가 되며,
- 따라서 벡터 x는 V로 사영시킨 벡터 x와 부분공간의 직교여공간의 벡터를 더한 것으로 나타낼 수 있다.
- 여기서 벡터 A의 열공간이 부분공간을 형성한다.
- 따라서 좌영공간을 구했을 때 벡터 x에서 부분공간 V로 벡터 x를 뺀 값이 해당 공간의 원소가 된다
- 이는 행렬 A를 전치시킨 것과 앞서 구한 영공간의 원소를 곱했을 때 영벡터가 나온다는 의미이다
- 또한 부분공간 V로 사영시킨 벡터 x는 행렬 A와 벡터 y의 곱이 되며, 식을 정리하면 $A^T\vec{x}=A^TA\vec{y}$로 된다.
- 이제 $A^TA$의 역행렬을 구해 벡터 y를 구할 수 있다.
- 행렬에서 각 열벡터가 선형독립일 경우 역행렬을 구할 수 있다.
- 이는 행렬 A의 열벡터가 기저벡터이므로 만족시킬 수 있다.
- 양변에 역행렬을 곱해 벡터 y로 식을 정리한다.
- 여기서 벡터 y로 정리된 식의 우항은 새롭게 행렬을 만들었고, 이를 벡터와 곱한 것으로 볼 수 있다.
- 따라서 행렬과 벡터의 곱으로 나타낼 수 있다는 것은 선형 변환이라는 의미이므로 부분공간 V로의 벡터 x 정사영은 선형 변환이된다.
본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.
Alternate coordinate systems (bases) | Linear algebra | Math | Khan Academy
We explore creating and moving between various coordinate systems.
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