[Khan Academy] Projections onto subspaces (부분공간으로의 정사영)

• 이번 시간에는 부분공간의 정사영에 대해 알아본다.
• 이전 시간에 배운 내용은 2차원에서 직선으로의 정사영이었다.

• 그렇다면 임의의 부분공간에서의 projection은 어떻게 될까?
• 부분공간 V와 V의 직교여공간, 벡터 x가 모두 같은 차원에 속해있다.
• 따라서 벡터 x를 부분공간 V로 사영시킬 경우 부분공간의 벡터 v로, 직교여공간으로 사영시킬 경우 직교여공간의 벡터 w가 된다.

• 지난시간에 사용한 행렬 A의 영공간과 행공간이다.

• 지난시간에 배운 해공간을 추가해 좌표평면위에 나타내었다.
• 여기서 원점에서 해공간으로 향하는 벡터를 벡터 s라고 할 때 이는 행공간의 벡터와 영공간의 벡터를 더한 것으로 표현할 수 있다.
• 여기서 행공간으로의 해 벡터의 정사영은 행공간의 원소가 되며, 이는 직선에 대한 정사영 정의와 같음을 알 수 있다. 또한 이는 가장 짧은 해와 동일하다.

 

• 이를 증명하기 위해 실제 벡터의 값을 이용해 정사영의 계산 값이 가장 짧은 해의 값인지 확인하였다.

---

본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

Alternate coordinate systems (bases) | Linear algebra | Math | Khan Academy