[Khan Academy] Unique rowspace solution to Ax = b (Ax=b의 고유한 행공간 해)

• 이번시간에는 행공간에서의 유일한 해를 보인다.
• 행렬 A가 주어지고, 벡터 b는 행렬 A의 열공간의 원소일 때, 이는 행렬 A의 열벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있다.
• 즉 $A\vec{x}=\vec{b}$를 만족하는 원소가 적어도 하나는 존재한다는 것이다.

• n차원 공간에 행렬 A의 영공간과 행렬 A의 영공간의 직교여공간이 주어졌다.
  • 각 공간에서 벡터 n과 벡터 r이 주어진다.
• n차원에 있는 임의의 벡터를 x라고 할때, 이는 $A\vec{x}=\vec{b}$의 해가 된다.

• 벡터 x는 영공간($vec{n_0}$과 영공간의 직교여공간($vec{r_0}$)의 합으로 나타낼 수 있다.
• $\vec{r_0}=\vec{x}-\vec{n_0}$라고 하자
  • 행렬 A에 이를 곱하게 될 경우 벡터 b가 나오게 된다.
  • 따라서 $\vec{r_0}$는 $A\vec{x}=\vec{b}$의 해가 된다.

 

그렇다면 $\vec{r_0}$는 $A\vec{x}=\vec{b}$을 나타낼 수 있는 행공간의 유일한 해일까?

• 가정으로 유일하지 않다고 하자.
• $\vec{r_1}$이 행공간의 또 다른 원소이며 $A\vec{x}=\vec{b}$를 만족시키는 해라고 하자.
  • $\vec{r_1}-\vec{r_0}$는 행공간의 원소가 된다 (부분공간 성질)
  • 이를 행렬 A와 곱하게 되면 영벡터가 나오며, $\vec{r_1}-\vec{r_0}$는 영공간의 원소라는 것을 알 수 있다.
  • 따라서 방정식을 만족시키는 행공간의 원소는 유일함을 알 수 있다.

• 이번에는 해가 되는 벡터의 크기에 대해 알아본다.
• 방정식의 임의의 해가 \vec{x}=\vec{r_0}+\vec{n_0}$라고 하자
  • 벡터 x를 제곱한 뒤 식을 전개 하게 되면 해의 크기는 행공간의 임의의 벡터보다 같거나 커야 한다는 것을 알 수 있다

 

따라서

벡터 b가 행공간의 원소일 때, $\vec{r_0}$의 고유한 원소가 존재하며, 이는 $A\vec{x}=\vec{b}$의 해가 된다.
이 때 이 방정식의 다른 해는 $\vec{r_0}$보다 같거나 커야 한다.

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본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

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