[Khan Academy] Orthogonal complement of the orthogonal complement (직교여공간의 직교여공간)

• 이번시간에는 직교여공간의 직교여공간에 대해 알아본다.
• 직교여공간의 직교여공간은 원래 부분공간보다 큰 부분공간일까?

• 이를 증명하기 위한 첫 번째 방법은 직교여공간의 직교여공간의 원소는 기존 부분공간의 원소라는 가정을 보이는 것이다.
• 직교 여공간의 직교여공간의 원소(벡터 x)를 원래 부분공간 V(벡터v)와 직교여공간(벡터 w)의 원소의 합으로 나타낼 수 있다고 하자
  • 이 때 벡터 x와 벡터 w를 내적한 값은 0이된다.
  • 이를 이용해 식을 전개하여 벡터 w가 영벡터가 됨을 보였다.
  • 따라서 벡터 x와 벡터 v가 같으며, 벡터 x는 원래 부분공간의 원소가 된다.

• 두 번째 증명 방법은 기존 부분공간의 원소는 직교여공간의 원소임을 보이는 것이다.
• 부분공간V의 원소인 벡터 v를 직교여공간의 원소 벡터 w와 직교여공간의 직교여공간의 원소 벡터 x의 합으로 나타낼 수 있다고 하자
  • 이 때 벡터 v와 벡터 w를 내적하게 되면 값이 0이 나온다.
  • 이를 이용해 식을 전개해면 벡터 w가 영벡터임이 나온다.
  • 따라서 벡터 v는 벡터 x와 동일하며 벡터 v는 직교여공간의 직교여공간의 원소가 됨을 알 수 있다.

직교여공간의 직교여공간은 원래 부분공간과 동일하다

 

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본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

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