[Khan Academy] dim(v) + dim(orthogonal complement of v) = n (부분공간의 차원과 부분공간의 직교여집합의 차원을 더하면 열의 개수)

• 이번시간에는 부분공간 v의 차원과 부분공간 v의 직교여공간의 차원을 더하면 열의 개수가 나온다는 것을 알아본다
• 부분공간 V는 k개의 벡터가 기저이며, k차원이다.

• 이 때 n x k의 행렬 A가 주어졌다.
• 행렬 A의 열공간이 주어졌으며, 부분공간 V와 같다.
• 이전시간 증명에 의해 전치행렬 A의 영공간은 행렬 A의 열공간의 직교여공간과 같으며, 부분공간 V의 직교여공간과 동일하다.
• 여기서 V의 직교여공간의 차원과 전치행렬 A의 영공간의 차원이 동일하다는 것을 알 수 있다.

• 즉 전치행렬 A의 rank와 nulity를 더하면 컬럼의 수가 나온다는 것이다.

• 행렬 B로 좀 더 자세하게 알아보자.
• 행렬 B에서 기약행사다리꼴을 만들었다.
  • 여기서 pivot column수는 열공간의 차원이 된다 
  • 여기서 free varialbe column수는 영공간의 차원이 된다.
  • 따라서 둘을 더하게 되면 전체 열의 수가 나오게 된다.

• 위에서 구한 열공간의 차원과 영공간의 차원을 더한 값이 열의 개수 n이라고 하고 식을 다시 정리하게 되면
• 부분공간 V의 차원과 부분공간 V의 직교여공간을 더하게 될 경우 열의 개수가 나오는 것을 알 수 있다.

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본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

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