[Khan Academy] Showing that A-transpose x A is invertible (전치행렬 X 행렬 = 역행렬이 존재한다)

• 이번시간에는 전치행렬과 행렬을 곱하면 역행렬이 존재함을 보인다.
• n x k의 행렬 A가 주어진다.
• 행렬 A의 각 열벡터는 선형독립이다.

• 여기서 전치행렬과 행렬을 곱하면 역행렬이 존재한다는 것을 보인다.
• 행렬 A가 선형독립이기 때문에 K x k 단위행렬이 도출될 수 있다.

• k x 1의 벡터가 $A^TA$의 원소라고 하자. 
• 일련의 과정을 통해 벡터 v가 영공간의 원소임을 보였다

• 여기서 벡터 v가 $A^TA$의 영공간의 원소라는 것은 행렬 A의 영공간의 원소이기도 하다.

• 따라서 $A^TA$의 연산으로 새로운 행렬이 나오게 되고, 이 값에 대한 해를 구하면 $A^TA$의 열이 선형독립이기 때문에 해가 하나만 나오게 된다.
• 그렇기 때문에 $A^TA$의 기약행사다리꼴은 단위행렬이 나오게 되므로 $A^TA$은 역행렬이 존재함을 알 수 있다

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본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

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