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- 이번시간에는 부분공간의 원소를 이용해 n차원의 벡터를 나타낸다
- 부분공간 V와 직교여공간 V가 모두 n차원의 부분공간이면 두 공간의 차원의 수를 더하면 n이 나옴을 지난 시간에 살펴보았다
그렇다면 두 부분공간이 공통으로 가지는 벡터가 존재할까?
- 벡터 x가 두 부분공간의 원소라고 하자.
- 이 경우 벡터 x를 내적하게 되면 0이 나오고, 길이가 0이 되는 벡터는 영벡터가 유일하다.
- 따라서 두 부분공간의 교집합은 영벡터가 유일하다.
- 이번에는 두 부분공간의 차원을 더해서 n차원의 기저가 나오는지 알아본다.
- 각 공간의 기저벡터와 차원이 주어졌다.
- 이때 두 기저벡터 집합을 선형결합으로 나타 낸 것의 합이 영벡터일 경우 두 집합을 합친 것은 n차원의 기저가 된다.
- 영벡터가 두 집합의 선형결합의 합의 유일한 해인지 알아보자.
- 주어진 식에서 직교여공간의 선형결합을 빼었다.
- 여기서 두 부분공간의 기저의 선형결합으로 나타나진 벡터는 모두 벡터 x가 된다 (앞선 교집합 증명)
- 벡터 x는 영벡터이다
- 벡터 x가 영벡터가 되기 위해서 두 선형결합의 스칼라값은 0이 되어야 한다.
- 따라서 두 선형결합이 모두 선형독립이므로 두 기저벡터 집합을 합친 집합은 선형독립 집합이다.
- $mathbb{R^n}$은 그 자체로 n차원의 부분공간이 되고, 두 부분공간의 기저를 합친 것은 $\mathbb{R^n}$의 기저의 수인 n과 동일한 것을 알 수 있다.
- 만약 임의 벡터 a가 $mathbb{R^n}의 원소라고 했을 때 부분집합 V의 벡터 v와 직교여공간 V의 원소인 벡터 x의 덧셈으로 나타낼 수 있다.
- 그렇다면 이 표현이 유일할까?
- 먼저 유일하지 않다는 가정으로 증명을 전개한다.
- 벡터 a를 부분공간 V의 원소와 직교여공간의 원소의 합으로 나타내었다.
- 여기서 양 변에 벡터를 하나씩 뺀 것이 벡터 z와 같다고 했을 때, 부분공간 정의에 의해 벡터 z는 두 부분공간의 원소가 된다.
- 따라서 두 부분공간의 유일한 교집합은 영벡터이기 때문에 벡터 a를 나타낼 수 있는 표현은 유일하다는 것을 알 수 있다.
본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.
Alternate coordinate systems (bases) | Linear algebra | Math | Khan Academy
We explore creating and moving between various coordinate systems.
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