[Khan Academy] Introduction to projections (정사영이란?)

• 이번시간에는 정사영에 대해 알아본다.
• 직선 L이 주어졌고, 이는 L위에 있는 벡터 x의 스칼라배의 집합이다.

• 원점에서 나가는 벡터 x가 있다. 
• 이 벡터 위로 빛을 쬘 때 직선 L위로 그림자가 지는데, 이를 x의 직선 L로의 정사영이라고 부른다.
  • 직선 L위의 벡터 x의 그림자
  • 벡터 x가 수선에 발에 닿기 위해 얼마나 움직였는지를 나타낸다

• 여기서 벡터 x에서 직선 L까지 닿기 위해 생긴 벡터는 $\vec{x}-Proj_L(\vec{x})로 구할 수 있다

$Proj_L(\vec{x}) \perp \vec{x}-Proj_L(\vec{x})$

• 이러한 관계성으로 다음과 같이 정사영을 구할 수 있다.
  • othogonal

$$Proj_L(\vec{x})=c\vec{v}, \\ (\vec{x}-c\vec{v})\cdot\vec{v}=0$$

• 두 벡터가 서로 othogonal이기 때문에 내적의 값이 0이 됨을 이용하여 스칼라값 c를 위와 같이 정의하게 되며, 정사영 식을 다음과 같이 다시 정의할 수 있다.

$$Proj_L(\vec{x})=c\vec{v}=(\frac{\vec{x}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\vec{v}})\times\vec{v}$$

 

• 실제 벡터 값을 대입하여 문제를 위와 같이 풀어 정사영을 구할 수 있다.

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본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

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