[Khan Academy] Coordinates with respect to a basis (기저 좌표)

• 이번시간에는 기저로 좌표를 표시하는 방법에 대해 알아본다.
• V가 n차원의 부분공간이고, B가 기저벡터들의 집합이며 벡터 a가 부분공간 V의 원소라하자
• 벡터 a를 B의 기저벡터들의 선형변환으로 나타낼 수 있다.
  • 이 때 B의 요소들로 벡터 a를 나타낼 수 있고, 벡터 a를 B의 기저벡터로 표현할 수 있다.

• $\vec{v}_1$과 $\vec{v}_2$가 주어졌고, B는 2차원의 기저벡터의 집합이다.
• 예를 들어 벡터 a가 1번 벡터를 3배, 2번 벡터를 두 배한 값의 선형 결합으로 나타낸다면 위와 같이 (8,7)로 나타낼 수도 있다.
• 이번에는 basis로 나타내는 새로운 좌표 (3,2)를 얻게 된다.

• 좌표는 (첫번째 기저벡터의 가중치, 두 번째 기저벡터의 가중치)로 나타낼 수 있다. 
  • 즉, 각 기저벡터의 수가 좌표가 된다.

• 그렇다면 이전에는 왜 기저벡터의 가중치를 좌표로 하지 않고, 벡터의 원소를 그대로 좌표로 사용한 것일까?
• 이는 (특히) 2차원에서 이미 x방향으로는 (1,0)을, y방향으로는 (0,1)을 표준기저로 정의하였기 때문이다.

• 2차원에서의 좌표를 기저벡터를 기준으로 나타내면 위와 같이 표기할 수 있다.

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본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

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