[Khan Academy] Vectors part.3 (unit, parameter)

Unit vectors

• unit vector는 한국어로 단위벡터이다.
• 길이가 1인 벡터로 볼 수 있으며, $\mathbb{R^2}$의 경우 {$\hat{i}=\left[\begin{matrix}1 \\0 \\\end{matrix}\right]$}, $\hat {j}=\left[\begin{matrix}0 \\1 \\\end{matrix}\right]$으로 나타내는 것이 일반적이다.
• $\vec {v}=\left[\begin{matrix}2 \\3 \\\end{matrix}\right]$으로 주어졌을 때 단위벡터로 나타내는 표기법은 $\vec{v}=2\hat{i}+3\hat{j}$이며, $\hat{i}$는 수평성분, $\hat{j}$는 수직성분을 의미한다.

Parametric representations of lines

• $\vec {v}=\left[\begin{matrix}2 \\\\1 \\\\end{matrix}\right]$이 주어졌을 때 좌표평면위에 나타내면 초록색 선처럼 그려진다. 그리고 이 벡터를 스칼라배 해도 동일한 선 상에서 늘어나거나 줄어들게 된다.
• 이를 일반화 해 co-linear 벡터들의 집합을 수식으로 나타내면 $S = { c\cdot \vec{v} |c\in \mathbb{R}}$이 된다.
• 여기서 벡터 v는 원점에서 시작하는 position vector이며 직선의 기울기를 나타내는 slope vector가 된다.
• 만약에 벡터 v에 $\vec{x}=\left[\begin{matrix}2 \\4 \\\end{matrix}\right]$를 더하게 된다면 원래 직선에서 평행 이동한 또 다른 직선을 얻게 된다.
• 이를 일반화 해 표현하는 방법으로는 $L={\vec {x}+t\vec{v}|t\in\mathbb{R}}$이 되며, 다양한 차원으로 확장할 수 있다. 바로 이 이유로 인해 $L$로 일반화된 식이 궁극적으로 벡터를 통해 직선을 정의하는 이유이다.

단순히 2차함수로는 3차원 이상을 나타낼 수 없기 때문

• 이번에는 x와 y의 매개변수 방정식으로 직선을 구하는 방법을 아라보자
• 벡터 a와 b라는 위치벡터가 주어져졌을 때 b-a를 지나가는 직선의 방정식을 구하기 위해서 위에서 본 식 $L$에$x=-2t$, $y=2t+3$이라는 매개변수를 통한 직선의 방정식을 세울 수 있다.
• $\vec{b}-\vec{a}$를 통해 구한 기울기를 대입하고, 벡터 b의 값을 대입하면

• 앞서 언급한 내용 중 다차원에서 직선의 방정식을 세우기 위해 벡터를 사용해 직선의 방정식을 구한다고 하였다.
• 그래서 이번에는 3차원에서의 직선의 방정식을 구해보자
• $\vec {P_1}=\left[\begin{matrix}-1 \\2 \\ 7 \\\end{matrix}\right]$, $\vec {P_2}=\left[\begin{matrix}0 \\3 \\ 4 \\end{matrix}\right]$으로 3차원의 두 벡터가 주어졌을 때 $\vec{P_1}-\vec{P_2}$로 기울기를 구하고, $\vec{P_1}$를 구해 식 $L$에 대입하면, 각 점이 $x$, $y$, $z$일 때 $x=-1-t$, $y=-t+2$, $z=3t+7$이 되며, 3차원 공간에서의 매개변수를 통한 직선의 방정식이 된다.

Linear combinations and span

• linear combination = 다 더해서 선형으로 연결하자
• linear combination : 주어진 벡터에 상수배 하여 더해 만들 수 있는 벡터의 집합(?)
• $\mathbb{R^n}$의 벡터 $v_1, v_2, ..., v_n$이 스칼라 $c_1, c_2, .., c_n$과 곱해져 더해진 것을 의미한다.
• 여기서 영벡터도 선형결합이 된다.

• span: 벡터들의 선형결합으로 만들 수 있는 공간
• $\vec {a}=\left[\begin{matrix}2 \\2 \\\ \end{matrix}\right]$, $\vec {b}=\left[\begin{matrix}-2 \\- 2 \\ \end{matrix}\right]$가 주어졌을 때, 두 벡터의 span은 하늘색 선이 된다.
• 영벡터의 span은 자기 자신 뿐이다.

• 그림에 보이는 unit vector는 $\mathbb{R^2}$의 어떤 벡터든 나타낼 수 있는 span이 되며, 이는 이후에 배울 $\mathbb{R^2}$의 basis라고 말할 수 있다.

• span의 수학적 정의이다.