[Khan Academy] Linear dependence and independence (More & Span)

More on linear independence

• 서로 선형 종속 관계의 벡터들의 집합 S가 주어졌다. 이에 따른 필요충분조건으로 $c_1v_1 +c_2v_2+...+c_nv_n=\vec{0}=\left[\begin{matrix}0 \\... \\ 0 \\\end{matrix}\right]$을 만족시키며 어떤 $c_i$가 모두 0이 아니다. (최소한 하나는 0이 아니다)
• 집합 S의 벡터들이 선형 종속일 때 필요충분조건 참인지 증명
  • 집합 S의 벡터 중 임의의 벡터 $v_1$을 다른 벡터와 스칼라 값 곱의 합으로 나타낼 수 있다고 할 때, 필요충분조건을 증명하기 위해서 $v_1=a_2v_2+a_3v_3+...+a_nv_n$의 양변에 $-v_1$을 해 보면 우변에 있는 모든 벡터들의 스칼라 중 적어도 하나는 0이 아닌 -1이 되는 것을 볼 수 있다.
  • 따라서 필요충분조건이 참인 것을 알 수 있다.
• 한 벡터를 다른 벡터의 합으로 나타낼 수 있는지 증명
  • $c_1v_1 +c_2v_2+...+c_nv_n=\vec{0}$이 참이고, 상수 $c_n$중 적어도 하나가 0이 아니며 $c_1$이 아니라고 가정해보자. 이 때 방정식의 양변을 $c_1$으로 나눠보자. 그리고 이 방정식에 $v_1$을 양변에서 빼면 $v_1$이라는 한 벡터를 다른 벡터의 합으로 나타낼 수 있다.
  • 따라서 참인 것을 알 수 있다.
• 이 증명 과정은 선형 독립여부를 판단하는데 유용한 방법이다.

• 이제 위에서 사용한 증명 과정을 통해 주어진 두 벡터가 종속인지 독립인지 판단해보자.
• 두 벡터가 선형 종속이기 위해서는 두 벡터에 어떤 스칼라를 곱해 서로 더한 값이 0이 되어야 한다.
  • 여기서 두 스칼라 중 하나가 0이 아니면 ⇒ 종속
  • 두 스칼라가 모두 0이어야 방정식이 성립한다면 ⇒독립
• $2c_1+3c_2=0과 c_1+2c_2=0$를 계산하면 두 상수 모두 0이 나온다. 즉, 방정식을 만족하는 값은 오직 두 스칼라값이 0일 때만이다.
• 따라서 두 벡터는 서로 독립관계임을 알 수 있다.
• 이 두 벡터의 Span은 $\mathbb{R^2}$이며 한 벡터의 스칼라배로 다른 벡터를 나타낼 수 없으므로 $\mathbb{R^2}$의 모든 벡터를 표현할 수 있다.

• 이번에는 2차원의 세 벡터가 주어졌다. 이 세 벡터가 서로 종속인지 독립인지 알아보자.
• 2차원 벡터가 3개라면 그 중 하나는 없어도 된다. 세 벡터 중 두 벡터의 span이 $\mathbb{R^2}$이기 때문이다.
  • 따라서 세 벡터는 종속임을 알 수 있다.
• 세 벡터가 각각 $c_1$, $c_2$, $c_3$ 스칼라 값과 곱해 더해진 값이 0이라고 한 뒤 방정식을 구해보자.
  • $c_3=-1$을 가정해보자. 이 때 $c_2=3$, $c_1=-4$가 된다.
  • 세 스칼라가 모두 0이 되며 방정식이 성립한다 ⇒ dependent!

Span and linear independence example

• Q1) 3차원의 세 벡터 집합 S의 span은 $\mathbb{R^3}$와 같을까?
  • $Span(s) =\mathbb{R^3}$의 의미는 세 벡터로 구성된 임의의 일차식이 $\mathbb{R^3}$의 임의의 벡터를 표현할 수 있다는 것이다.
  • 주어진 세 벡터로 세워진 방정식이 $\left[\begin{matrix}a \\b \\ c \\\end{matrix}\right]$를 만족한다고 하자. 이 방정식을 정리해 1,2,3 식을 얻고 $c_1$, $c_2$, $c_3$로 다시 식을 정리했다. 이 때 a,b,c가 주어진다면 각 상수의 값을 구할 수 있다.
  • 만약 a,b,c가 모두 0으로 주어진다면 세 상수의 값도 모두 0이 된다.
  • 따라서 이 식의 유일한 답은 0밖에 없다.
  • 즉, 세 벡터는 서로 독립이며, 이는 $\mathbb{R^3}$가 세 벡터로 표현할 수 있는 공간임을 알 수 있다.
• Q2) 세 벡터는 서로 독립일까?
  • 위에서 세 벡터로 이뤄진 방정식을 만족하는 해가 오직 0임을 밝혔으므로 세 벡터는 서로 독립니다.