[Khan Academy] Linear subspaces (선형 부분집합)

Linear subspaces

• $\mathbb{R^n}$의 subspace(부분집합) V의 정의
  • $\mathbb{R^n}$의 부분집합
  • $\mathbb{R^n}$에서 정의된 벡터의 부분집합일 수도 있음
  • V는 영벡터를 포함
  • V에 $\vec{x}$가 있다면, 이 벡터에 어떤 스칼라를 곱한 값 또한 V에 속한다. => 곱셈에 대해 닫혀있다
  • V에 있는 벡터 a,b가 있을 때 이 둘은 더한 값 또한 V에 속한다 => 덧셈에 대해 닫혀있다.

∴영벡터를 포함하는 $\mathbb{R^n}$안의 어떤 벡터들의 집합을 가지고 있고 덧셈과 덧셈에 대해 닫혀있다면 subspace가 존재하게 된다.

 

• 이를 다시 확인해 보자
• 벡터집합 V에 영벡터 하나만 있다고 하자. 이 때 V는 $\mathbb{R^3}$의 subspace인가?->0
  • 영벡터를 포함하는가? -> 0
  • 곱셈에 닫힌 연산인가? -> 0
  • 덧셈에 닫힌 연산인가? -> 0 

• $\mathbb{R^2}$에 있는 0이상인 벡터 $\vec{x_1}$, $\vec{x_2}$로 이뤄진 집합 S가 $\mathbb{R^2}$의 부분집합인가?
• $x_1$좌표는 0이상이기 때문에 y축을 포함한 제 1,4사분면이 S의 영역이 될 것이다.
  • 영벡터를 포함하는가? -> (0,0)이 포함되기 때문에 성립
  • 덧셈에 닫혀있는가? -> 닫혀있음 (a와 c가 0보다 큰 값이기 때문에)
  • 곱셈에 닫혀있는가? -> 스칼라 -1을 곱하게 되면 $x_1$이 0보다 작게 됨 => 곱셈에 닫혀있지 않음

∴집합 S는 $\mathbb{R^2}$의 subspace가 아님

 

이번에는 어떤 집합 U의 linear span에 대해 알고싶다고 해보자.

• 집합 U = span($v_1$, $v_2$, .., $v_n$)이 $\mathbb{R^2}$의 유효한 subspace인가?
  • 영벡터를 포함하는가? -> 스칼라를 곱해도 영벡터가 도출됨 => 0
  • 곱셈에 대해 닫혀있는가? => 0
    • 임의의 벡터 X가 집합 U의 선형결합으로 표현될 수 있는지 확인
    • 벡터 X에 임의의 상수를 곱하여 나타내진 벡터 X의 선형결합 표현은 다른 임의의 상수로 대체될 수 있음(Span안에 속한다는 의미)

• 집합 U = span($v_1$, $v_2$, .., $v_n$)이 $\mathbb{R^2}$의 유효한 subspace인가?
  • 덧셈에 대해 닫혀있는가? => 0
    • 임의의 벡터 Y는 집합 U 원소의 선형 결합으로 나타낼 수 있다고 하자
    • 여기서 벡터 X, Y를 더하게 되면 선형결합으로 나타낼 수 있다(Span에 속함)

∴집합 U는 $\mathbb{R^n}$의 subspace이다

• 만약 U=span($\left[ \begin{matrix} 1 \\\\ 1 \\\\\end{matrix} \right]$)가 주어진다면 이 집합은 부분공간일까?
  • 영벡터를 포함하는가? => 0
  • 곱셈에 대해 닫혀있는가? => span=모든벡터의 집합, 무엇을 곲하든 span안에서 만들어짐 0
  • 덧셈에 대해 닫혀있는가? => 0

∴U=span($\left[ \begin{matrix} 1 \\\\ 1 \\\\\end{matrix} \right]$)는 $\mathbb{R^2}의 subspace이다

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본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

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