[Khan Academy] Basis of a subspace (기저)

Basis of a subspace

• n개의 벡터가 서로 선형 독립인 span을 subspace V라고 해보자.
  • V가 span이다 : 주어진 벡터들로부터 만들수 있는 모든 가능한 linear combination의 집합이다
  • 벡터가 서로 linear independent이다 : 벡터들의 선형결합의 유일한 해가 영벡터이다.
• IF 벡터 집합의 span = 부분공간 V, V를 생성 + 모든 벡터가 선형독립 -> 벡터들이 집합 S생성.
• =>집합 S는 부분공간 V의 Basis(기저)이다

• 예를 들어 집합 S의 원소인 벡터들에 다른 벡터 $v_s$가 추가된 집합 T가 있다고 하자
• 비록 집합 T는 선형 종속을 이루겠지만, $Span(T)=V$가 유지된다. 
• 하지만 T는 V의 basis가 될 수 없다. (선형 독립이 깨졌기 때문)

basis

-어떤 공간을 span하는데 필요한 최소한의 벡터 집합

-basis를 이루는 벡터는 중복되지 않아야 한다.

 

그렇다면 두 벡터를 원소로 하는 집합 S의 span은 무엇인가?

• 벡터공간 $\mathbb{R^2}$에 있는지 확인 = 해당 벡터공간 안의 어떤 벡터도 표현할 수 있다
• 연립방정식을 구해 값을 구하면 어떤 $x_1$, $x_2$가 주어진다면 선형독립 여부를 확인할 수 있다.
• S의 두 벡터로 세운 방정식의 유일한 해가 0이므로 선형독립이다.

∴집합 S는 $\mathbb{R^2}$의 basis임을 알 수 있다. = $\mathbb{R^2}$의 어떠한 벡터도 다 그려낼 수 있따?

 

• 그렇다면 unit vector의 집합도 basis일까?
  • $\left[ \begin{matrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ \end{matrix} \right]$를 만든다고 가정하자.
  • 집합 T의 벡터로 $\left[ \begin{matrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ \end{matrix} \right]$를 만들기 위해서 $x_1\left[ \begin{matrix} 1 \\\\ 0  \\\\ \end{matrix} \right]$+$x_2\left[ \begin{matrix} 0 \\\\ 1  \\\\ \end{matrix} \right]$을 구하면된다. 
  • 이렇게 계산한 결과는 늘 $\left[ \begin{matrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ \end{matrix} \right]$ 같게 나온다.
  • 만약 $x_1$, $x_2$가 영벡터라고 한다면 방정식을 만족시키는 값은 0벡터가 유일하다.
  • 따라서 집합 T의 벡터는 선형 독립이며 $\mathbb{R^2}$를 생성한다는 것과 $\mathbb{R^2}$의 basis임을 알 수 있다.

=>basis는 하나가 아니다.

=>unit vector로 구성된 집합은 standard basis라 부른다.

=>subspace의 어떤 벡터도 표현할 수 있다.

 

• subspace U의 basis 집합이 주어졌다.
  • subspace U를 생성하고 , 벡터들이 서로 선형 독립이다
• basis를 이루는 벡터들로 subspace U의 어떤 벡터도 표현할 수 있다.
  • U의 원소인 벡터 a가 주어졌을 때 이를 basis를 이루는 벡터의 선형 결합으로 표현될 수 있다.
  • 그리고 벡터 a를 이루는 선형결합이 유일하다는 것을 증명해보자
    • 벡터 a를 스칼라값이 $d_n$인 다른 basis 벡터의 선형 결합으로 나타내보자
    • 그리고 두 벡터 a를 나타낸 선형 결합 식을 빼 선형결합의 유일한 해가 영벡터임을 보인다.
    • 모든 상수가 0이어야 하기 때문에 다른 스칼라값으로 선형결합을 표현해도 같은 상수임을 알 수 있고, 벡터 a을 이루는 선형결합이 유일하다는 것을 알 수 있다.

∴어떠한 subspace에 basis가 있다면, 그 subspace는 그 basis 벡터들의 유일한 결합으로 나타나게 될 것이다.

 

 

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본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

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