[Khan Academy] Proving vector dot product properties (내적 성질 증명)

• 내적의 첫 번째 성질: 교환법칙 성립
  • 내적하고자 하는 벡터의 순서가 바뀌어도 상관 없다
• 증명
  • n차원의 벡터 v와 w가 주어진다
  • $\vec{v}\cdot\vec{w}$ 한 결과와 $\vec{w}\cdot\vec{v}$를 비교한다
  • 우변의 n끼리의 값이 같은 것을 알 수 있다

∴내적에는 교환법칙이 성립한다

• 내적의 두 번재 성질 : 분배법칙
• 증명
  • 벡터 V, W, X가 주어졌다
  • $(\vec{v}+\vec{w})\vec{x}$=$(\vec{v}\cdot\vec{x}+\vec{w}\cdot\vec{x})$임을 보인다
  • 벡터 v와 w의 합은 각 위치에 대응하는 원소끼리 더한 값이다. 이에 벡터 x를 내적한다.
  • 벡터 v와 x를 내적한 것과 벡터 w와 x를 내적한 값을 더한다.
  • 두 방법의 식이 모두 같은 것을 확인할 수 있다

∴내적에서 분배법칙이 성립한다

• 내적의 세 번재 성질 : 결합법칙
• 증명
  • $(c\vec{v})\cdot\vec{w} = c(\vec{v}\cdot\vec{w})$를 증명한다
  • c와 벡터 v의 곱에 벡터 w를 내적한다
  • 벡터 v와 w를 내적한 뒤 이에 c를 곱해 분배한다.
  • 두 값이 같은 것을 알 수 있다

∴내적에서 결합법칙이 성립한다.

 

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본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

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