[Khan Academy] Proof of the Cauchy-Schwarz inequality (코시슈바르츠 부등식 증명)

• 코시슈바르츠 부등식을 정의하고 증명해보자.
• $\mathbb{R^n}$에 속해있으며 영벡터가 아닌 벡터 x,y가 주어진다.
• 이 두 벡터의 내적값은 각 벡터의 길이(magnitude)를 곱한 값보다 작거나 같다.
• 만약 양변의 값이 같다면, 한 벡터는 다른 벡터의 스칼라배한 값이다.

먼저 부등식부터 증명해보자.

• 스칼라 t를 취하는 함수 $p(t)=||t\vec{y}\cdot-\vec{x}||\geq 0$가 주어졌다. 
• 이 때 벡터의 제곱은 자기자신을 내적한 값과 같기 때문에 부등식 좌항을 내적할 수 있다.
• 이렇게 내적해 정리한 식은 $(\vec{y}\cdot\vec{y})t^2-2(\vec{x}\cdot\vec{y})t+\vec{x}\cdot\vec{x}\geq 0$이 된다.

여기서 $\vec{y}\cdot\vec{y}$ = a, $2(\vec{x}\cdot\vec{y})$=b, $\vec{x}\cdot\vec{x}$ = c로 치환한다.

 

• 위의 치환한 값을 다시 정리해 식을 작성하면 $p(t)=at^2=bt+c\geq 0$가 된다.
  • 여기서 함수 $p(t)\geq 0$이기 대문에 t가 어떤 수든 부등식이 성립한다.
• 이 때 $t=\frac{b}{2a}$로 함수에 대입해 정리하면 $b^2\leq 4ac$로 된다.

• 정리된 값에 치환 전 값을 대입해보자
  • $\{2(\vec{x}\cdot\vec{y}\}^2 \leq 4(\vec{y}\cdot\vec{y}(\vec{x}\cdot\vec{x})$가 된다.
  • 이 식을 정리하면 $\vert\vec{x}\cdot\vec{y}\vert\leq\Vert\vec{y}\Vert\Vert\vec{x}\Vert$가 된다

∴두 벡터의 내적 값은 각 벡터의 길이의 곱과 같거나 작다

 

이번에는 두 벡터의 내적값과 두 벡터 길의의 곱의 값이 같을 때 이를 만족시키는 경우는 한 벡터가 다른 벡터의 스칼라배이다는 것을 증명해보자.

• $\vec{x}=c\vec{y}$라고 하자
• 이 때 두 내적에서 벡터 x를 $c\vec{y}$로 바꿔 방정식을 정리하면 $\Vert c\vec{y}\Vert\Vert\vec{y}\Vert$가 되고, $\vec{x}=c\vec{y}$이기 때문에 $\Vert\vec{x}\Vert\Vert\vec{y}\Vert$가 구해진다.

∴두 벡터의 내적 값이 각 벡터 길이의 곱과 같기 위해서는 한 벡터는 다른 벡터의 스칼라배여야 한다.

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본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

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