[Khan Academy] Defining the angle between vectors (두 벡터 사이의 각)

• 이번시간에는 n차원에 있는 벡터간의 각을 구하는 방법을 알아보자.
• 먼저 벡터 a, b, a-b를 구하고 이를 일반 삼각형처럼 만들어본다. 삼각형의 각 변의 길이는 주어진 벡터의 길이와 동일하다.
• 항상 위와 같이 삼각형을 그릴 수 있다

• 하지만 삼각형을 이루지 못할 수 있는 경우가 있다. 바로 한 변의 길이가 다른 두 변의 길이의 합보다 큰 경우이다.
• 이를 삼각부등식을 통해 성립할 수 없는 것으로 증명하였다.
• 이제 벡터 사이의 각으로 확장해보자

• 세 벡터로 만들었고, 한 각이 $\theta$인 삼각형을 오른쪽과 같이 벡터의 길이로 나타낸 삼각형으로 만들 수 있다.
• 이 때 코사인 제 2법칙을 이용해 두 벡터 사이의 끼인각의 크기를 구하는 식을 n차원의 벡터에도 적용할 수 있도록 일반화 할 것이다. 

• 코사인 제 2법칙에 삼각형을 만들 때 사용한 벡터를 대입해 구해보자.
• $c = \vec{a}-\vec{b}$, a와 b에는 각각 $\vec{b}$와 $\vec{a}$를 대입한다.
• 벡터의 제곱 = 자기 자신을 내적 이므로, 좌변을 $(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})$로 나타낸다.
• 이후 이 내적 값을 전개 해 정리한 값이 코사인 법칙에 주어진 벡터를 대입한 값과 같다고 둔다. (코사인 법칙으로 정리될 수 있도록 함)
• 식을 정리하면 $\vec{a}\cdot\vec{b}=\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert cos\theta$을 구할 수 있다.

• 여기서 $\vec{a}=c\vec{b}$일 경우
  • c>0 -> 두 벡터는 일직선
  • c<0 -> 두 벡터가 이루는 각도는 180도
• perpendicular (수직)
  • $\vec{a}\cdot\vec{b}$가 이루는 각도가 90도 인 경우를 말한다.
  • 기하학적인 용어이다 
    • 두 개의 직선, 반직선, 선분이 직각으로 만나는 경우
  • $\vec{0}$은 해당되지 않는다.
    • $cos\theta$를 정의할 수 없기 때문이다.

• otthegonal (직교)
  • 두 벡터의 내적 값이 0인 벡터를 말한다. 
  • 수학적으로 각 요소들이 독립적인 두 벡터를 말함 => 각이 90도 이다 = 상관성이 없다= 방향성이 다르다= 서로 독립적이다
  • 기하학, 대수학을 모두 포함하기 때문에, 선, 면, 벡터 등을 모두 포함한다.
  • 영벡터의 개념을 포함하며, 자기 자신을 포함한 모든 벡터와 직교한다.

• 두 벡터가 모두 영벡터가 아니다 = 수직이며 직교한다
• 두 벡터 중에 영벡터가 있다 = 직교한다

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본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

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