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- $\mathbb{R^3}$에서 한 면이 있고, 면 위의 점 (x,y,z)가 있을 때 이를 면에 대한 방정식으로 나타내면 다음과 같다.
$$Ax+By+Cz=D$$
- 법선벡터란?(normal vector)
- 면(plane)에 있는 모든 곳에 수직(perpendicular)인 벡터
- 이 때 면 위에 있는 벡터 a는 법선벡터 n과 내적을 하게 될 경우, 0이 되며, 두 벡터가 이루는 각도는 90도가 된다.
- 또한 면 위에 있는 벡터는 모두 법선벡터와 내적값 0, 90도의 사이각을 이루게 된다.
Q) 법선벡터와 평면위의 점이 하나 주어졌을 때 이를 면의 방정식으로 만들 수 있는가?
- 먼저 평면위의 점을 위치벡터 $\vec{x_0}$로 나타내면 황색과 같은 원점에서 시작하는 벡터가 면에 닿는 것이 그려진다.
- 그렇지만 아직 벡터가 면 위에 그려지지 않았다.
- 그래서 면 위의 다른점을 위치벡터 $\vec{x}$로 나타내보자.
- 비록 두 벡터가 면 위에 있지 않지만, 두 벡터를 이용해 면 위에 존재하는 벡터를 구할 수 있다.
- 여기서 $\vec{x}-\vec{x_0}$를 해보면 면 위에 $\vec{x}-\vec{x_0}$가 생기게 되며, 법선벡터 n과 수직이 된다.
- 따라서 법선벡터와의 내적값 =0, 두 벡터가 이루는 각 =90도가 된다.
- 주어진 벡터들의 원소를 나타내면 $\vec{n}=\left[ \begin{matrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3\\ \end{matrix} \right]$, $\vec{x}-\vec{x_0}=\left[ \begin{matrix} \ x-x_0 \\ y -y_0\\ z-z_0\\ \end{matrix} \right]$가 된다.
- 두 벡터의 내적값이 0인 것에 벡터의 원소를 대입해 연산하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
$$ n_1(x-x_0)+n_2(y-y_0)+n_3(z-z_0)=0$$
$$\Rightarrow Ax+By+Cz=D$$
- 위의 증명과정을 통해 나온 식에 실제 값을 대입해 면의 방정식을 구하는 과정이다.
본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.
Vectors and spaces | Linear algebra | Math | Khan Academy
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