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- 이번시간에는 sin을 통한 외적의 절댓값 구하는 법과 이 과정을 증명하며 외적과 sin간의 관계를 보인다.
- 외적과 사인의 관계는 다음과 같다.
$$\Vert\vec{a}\times\vec{b}\Vert=\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert sin(\theta)$$
- 외적의 절댓값의 제곱 = 외적하는 벡터 각 성분 제곱의 합
- 이를 이용해 식을 전개한다.
- 그리고 마지막에 정리된 초록색 하이라이트 식을 기억한다.
- 여기서 내적의 기억을 다시 가져와보자.
- $\vec{a}\cdot\vec{b} = \Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert cos{\theta) = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
- 각 항에 제곱을 곱해 전개하여 정리한다.
- 정리된 식에서 앞서 본 초록색 하이라이트 부분과 같은 식이 나오는 것을 볼 수 있다.
- 그렇다면 앞서 계산한 두 식을 더한다면 ($\Vert\vec{a}\times\vec{b}\Vert^2+\Vert]vec{a}^2\Vert\Vert\vec{b}\Vert cos^2(\theta)$ 식이 어떻게 될까?
- 식을 정리하면 $(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)$이 되며, 이 값은 각 괄호가 $\vec{a}$와 $\vec{b}$의 내적값이 된다.
- 따라서 각 내적의 제곱을 나타낼 수 있다.
- 이 때 양 변에 $\Vert\vec{a}\Vert^2\Vert\vec{b}\Vert^2cos^2(\theta)$를 빼준 뒤 식을 정리한다.
- 삼각함수 법칙에 의해 $cos^2(\theta)+sin^2(\theta)=1$이기 때문에 $(1-cos^2(\theta)$를 $sin^2(\theta)$로 바꿀 수 있게 된다.
- 양변에 루트를 씌워주면 처음 선언한 식과 동일한 식이 나오는 것을 볼 수 있다.
본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.
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