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- 이번 시간에는 삼중적을 내적으로 구하는 방법을 알아본다.
- 벡터 a, b, c가 주어졌다.
- 먼저 벡터 b와 c의 외적을 구해보자.
- 외적 값은 $\hat{i}(v_yc_z=b_zc_y)-\hat{j}(b_xc_z-b_zc_x)-\hat{k}(b_xc_y-b_yc_x)$
- 이제 벡터 b, c를 외적해 나온 벡터와 벡터 a를 외적한다.
- 먼저 x 성분(단위벡터가 $\hat{i}$인 부분)부터 외적해보자
- 외적 값으로 $\hat{i}(a_yb_cc_y-a_yb_yc_x-a_xb_zc_x+a_zb_xc_z)$가 나오는데, 여기에 계산을 편리하게 하기 위해 $a_xb_xc_x-a_xb_xc_x$을 더해준다.
- 이제 식을 $b_x$와 $c_x$로 묶어 정리하면 각각 $\vec{a}\cdot\vec{c}$, $\vec{a}\cdot\vec{b}$를 곱한 것과 같으며, x성분은 다음과 같이 정리된다.
$$\hat{i}{(\vec{a}\cdot\vec{c})b_x-(\vec{a}\cdot\vec{b})c_x}$$
- 동일한 방법으로 y, z 성분도 정리해주면 $\vec{a}\cdot\vec{c}$, $\vec{a}\cdot\vec{b}$가 동일하게 나오는 것을 볼 수 있다.
- 따라서 외적을 위의 사진과 같이 나타낼 수 있다.
- 이 때 단위벡터에 분배법칙을 적용해 식을 풀어준다.
- 식은 다음과 같이 두개의 항으로 정리된다.
$$(\vec{a}\cdot\vec{c})(b_x\hat{i} + b_y\hat{j}+b_z\hat{k})-(\vec{a}\cdot\vec{b})(c_x\hat{i}+c_y\hat{j}+c_z\hat{j})$$
- 정리된 식을 잘 보면 단위벡터가 곱해진 괄호 부분이 각각 벡터 b와 c임을 알 수 있다.
- 따라서 벡터의 삼중곱 공식을 내적을 통해 도출할 수 있다.
$$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b})$$
- 벡터의 삼중곱은 앞선 계산 과정을 통해 구할 수 있다.
- 하지만 이는 벡터의 값이 클 경우 비효율적이기 때문에 공식을 통해 빠르게 문제를 풀 수 있다는 장점이 있다.
본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.
Vectors and spaces | Linear algebra | Math | Khan Academy
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