[Khan Academy] Cross product introduction (외적 intro)

• 이번시간에는 외적에 대해 알아본다.
• n차원에서도 적용할 수 있는 내적과 달리 외적은 오직 $\mathbb{R^3}$에서만 적용할 수 있다.
• 외적은 다음과 같이 정의된다

$$given \,\,\,\,\,\, \vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R^3}$$

$$\vec{a}\times \vec{b}=\left[ \begin{matrix} \ a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\\ \end{matrix} \right]$$

 

• 공식에 실제 벡터를 대입해 연산해 볼 수 있다.

• 그래서 대체 외적은 무슨 의미를 가지는 것일까?
• 바로 외적한 두 벡터와 외적 결과로 나온 벡터가 서로 직교(othogonal)관계라는 것이다.

 

• 위의 내용을 시각화하면 위에 있는 그림처럼 된다.
• 여기서 외적으로 나온 벡터의 방향은 계산 결과에 따라 달라진다.
• 이를 쉽게 생각해낼 수 있는 것이 "오른손 법칙"이다.
• 오른손으로 엄지는 결과 벡터, 검지와 중지가 외적하는 벡터이다.

• 직교의 성질인 두 벡터의 내적 = 0을 이용해 두 벡터가 직교임을 보인다.

• 맨 위에서 공식에 우항에 있던 계산 결과 벡터와 외적한 벡터인 $\vec{a}$를 내적하면 값이 0이 나오는 것을 확인할 수 있다.

$\therefore \vec{a}\bot(\vec{a}\times\vec{b})$

• $\vec{b}$에 대해서도 동일한 결과를 낼 수 있다.

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본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

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