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- 지난 시간 코시슈바르츠 부등식을 배웠다. 이번 시간에는 코시슈바르츠 부등식을 사용해 벡터에서의 삼각 부등식을 증명하고 정의한다.
- $\Vert\vec{x}+\vec{y}\Vert ^2$이 있다. 이는 자기 자신을 두 번 내적한 값과 같기 때문에 $(\vec{x}+\vec{y})\cdot(\vec{x}+\vec{y})$로 나타낼 수 있다.
- 이 식을 전개하면 $\Vert\vec{x}\Vert ^2 +2(\vec{x}\cdot\vec{y})+\Vert{y}\Vert^2$이 된다.
- 이 때 벡터 x와 y를 내적한 값은 양수인지 음수인지 모르기 때문에 둘을 내적한 값의 크기보다 작거나 같게 된다.
- 따라서 $\vec{x}\cdot\vec{y}\leq\vert\vec{x}\cdot\vec{y}\vert\leq\Vert\vec{x}\Vert\Vert\vec{y}\Vert$가 성립하게 된다.
- 위 식의 $\vec{x}\cdot\vec{y}$를 $\Vert\vec{x}\Vert\Vert\vec{y}\Vert$로 바꿔보자.
- 부등식의 우항은 완전 제곱식이 된다.
- 이를 정리하면 $\Vert\vec{x}+\vec{y}\Vert\leq \Vert\vec{x}\Vert+\Vert\vec{y}\Vert$가 성립하며 이를 삼각부등식이라고 부른다.
- 부등식의 각 요소를 삼각형의 세 변이라고 생각하면 된다.
- 이제 삼각 부등식이 성립하는 두 가지 경우를 기하학적으로 증명해보자.
- case1) 두 벡터의 합의 절댓값이 각 벡터의 길이를 더한 것보다 같거나 작을 때
- 벡터 x와 y를 더한 값을 좌표평면상에 그렸다.
- case2) 두 벡터의 합의 절댓값이 각 벡터의 길이를 더한 것과 같을 때
- 두 벡터가 동일선상에 있을 때 성립됨을 볼 수 있다.
- 등호가 성립할 수 있는 이유는 코시슈바르츠 부등식에서 유도된 공식이기 때문이다.
- 따라서 삼각부등식을 통해
- N차원의 벡터로 확장할 수 있다
- N차원의 벡터의 각도를 구할 수 있다 -> 다음 영상에서 진행
본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.
Vectors and spaces | Linear algebra | Math | Khan Academy
Let's get our feet wet by thinking in terms of vectors and spaces.
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