[Khan Academy] Linear dependence and independence (intro)

Linear dependence and independence

• 벡터 $\left[ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right]$와 $\left[ \begin{matrix} 4 \\ 6 \\ \end{matrix} \right]$이 주어졌을 때 이 두백터의 span은 $c1\left[ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right]$+$c2\left[ \begin{matrix} 4 \\ 6 \\ \end{matrix} \right]$으로 나타낼 수 있으며, 두 벡터는 서로의 스칼라배이므로 $c3\left[ \begin{matrix} 2 \\ 3 \\ \end{matrix} \right]$으로 나타낼 수 있다.

• 위에서 본 span을 기하학적으로 나타내면 왼쪽에 있는 직선과 같이 그려지며, 두 벡터가 한 직선안에 나타나므로 co-linear 관계임을 알 수 있고, linearly dependent임을 알 수 있다.

• 또 다른 예제로 벡터 $\left[\begin{matrix}2 \\3 \\\end{matrix}\right]$, $\left[\begin{matrix}7 \\2 \\\end{matrix}\right]$, $\left[\begin{matrix}9 \\5 \\\end{matrix}\right]$가 주어졌다. 이 세 벡터는 서로 linear independent일까?
• 각 벡터를 $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$, $\vec{v_3}$라 할 경우, $\vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{v_3}$이므로 $\vec{v_3}$는 $\vec{v_1} + \vec{v_2}$과 linear dependent 관계임을 알 수 있다.

• 또 다른 벡터 $\vec{v_1}=\left[\begin{matrix}7 \\0 \\\end{matrix}\right]$, $\vec{v_2}=\left[\begin{matrix}0 \\-1 \\\end{matrix}\right]$이 주어졌을 때 이 둘은 어떤 관계일까?
• 두 벡터는 서로에 대한 선형결합으로 나타낼 수 없다. 따라서 linear independet이다.
• 그리고 이 두벡터는 두 벡터의 span의 basis가 된다.

• 3차원의 세 벡터가 주어졌다.
• 이 세 벡터는 서로가 서로를 선형결합으로 표현할 수 없기 때문에 independet이다.
• 좌표계에 이를 기하학적으로 나타내면 서로 다른 방향성을 가지는 것을 알 수 있다.