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- 이번 시간에는 행사다리꼴을 이용해 선형계에는 해가 없다는 것을 보인다.
- 변수 개수보다 식의 개수가 적은 연립방정식은 해가 무수히 많거나 없을 수 있다.
- 이를 보이기 위해 주어진 방정식을 행렬을 통해 정리한다.
- 기약행사다리꼴로 정리된 행렬에 pivot entry가 있음을 확인하였다.
- 하지만 문제가 있다.
- 문제를 알아보기 위해 행렬을 다시 방정식으로 바꿔본다.
- 마지막에 "0=-4"로 성립할 수 없는 식이 나온다.
- 따라서 세 식을 모두 만족하는 값을 찾을 수 없으며 이는 4차원 공간에서 서로 교차하지 않는다는 것을 알 수 있다.
- 공간에서 교차하지 않아 해가 없다는 뜻을 3차원 공간에서 알아보자.
- 평행하는 두 면의 방정식이 주어졌을 때 두 방정식을 빼면 변수 항은 0이 되고 평행이동 계수항은 3이 되며 방정식이 성립하지 않는 것을 볼 수 있다.
- 따라서 해가 없다는 것을 알 수 있다.
- 앞선 내용을 다시 정리하면 다음과 같다.
- 방정식이 유일한 해를 가진다
- 온전한 기약행사다리꼴이 만들어지며 pivot variable을 제외한 free variable이 없다
- 방정식이 유일한 해를 가지지 않는다
- free variable과 pivot entry가 없는 free column을 가진다.
본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.
Vectors and spaces | Linear algebra | Math | Khan Academy
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