[Khan Academy] Introduction to the null space of a matrix (행렬 영공간 1)

• 이번시간에는 영공간(null space)에 대해 알아본다.
• 그 전에 부분집합에 대해 다시 한 번 집고 넘어가자.
• 부분 집합이 되기 위한 조건은 다음과 같다.

1. 영벡터를 포함한다
2. 덧셈에 대해 닫혀있다
3. 곱셈에 대해 닫혀있다

• m x n 행렬 A가 주어졌을 때 $\mathbb{A}\vec{x}=\vec{0]$의 동차방정식도 주어졌다고 하자
• 이 때 집합 N이 부분공간을 만족할지 알아보자

• 먼저 영벡터를 포함하는지 확인한다.
• 행렬 A에 영벡터를 곱하면 영벡터가 나오므로 영벡터는 집합 N의 원소이다.
• 따라서 영벡터가 존재한다

• 두 번째로는 덧셈에 대해 닫혀있는지 확인한다
• 집합 N의 원소인 $\vec{v_1}$과 $\vec{v_2}$가 주어졌을 때 행렬 A와 두 벡터를 곱한 값이 영벡터가 나오는 것을 확인하였다.
• 따라서 덧셈에 닫혀있다

• 다음으로 곱셈에 닫혀있는지 확인한다
• 집합 N의 원소인 $\vec{v_1}$에 스칼라값 C를 곱한 값도 집합 N의 원소인지도 확인한다. 
• 이 값과 행렬 A를 곱한 값은 영벡터가 나오므로, $c\vec{v_1}$도 집합 N의 원소이며 곱셈에 닫혀있다는 것을 알 수 있다.

• 따라서 지금까지 본 내용을 정리해 N이 유효한 부분집합임을 알 수 있었다.
• 특히, 부분집합 N은 행렬 A의 영공간이며 다음과 같이 나타낸다

$$N=N(A)$$

• 영공간을 찾는 것 = $\mathbb{A}\vec{x}=0$을 만족하는 모든 $\vec{x}$의 집합을 찾는 것

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본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

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