[Khan Academy] Showing that the candidate basis does span C(A) (후보 기저의 A의 열공간 생성)

• 이번시간에는 후보 기저와 열공간 기저에 대해 알아본다.
• $\vec{a_1},\vec{a_2}\vec{v_4}$가 A 열공간의 기저라고 할 경우 다음 조건을 충족해야 한다.
  • 세 벡터는 선형독립이다
  • 세 벡터는 열공간을 생성한다

• 이 때 $A\vec{x}=\vec{0}$, $B\vec{x}=\vec{0}$로 나타내고 두 연산에 대해 연산을 수행하자.
• 그리고 각 연산에서 pivot column과 관련 있는 벡터와 아닌 벡터를 구분한다

• 그리고 자유변수가 실수범위에 있다고 하고 pivot 변수를 자유변수로 나타냈다.

• A의 세 벡터로 다른 두 벡터를 나타낼 수 있음을 보기기 위해 $-x_3\vec{a_3}$을 양 변에서 빼준다
• $x_3$이 -1, $x_5$가 0이라고 하면 다른 세 벡터의 선형결합으로 $x_3$을 나타낼 수 있음을 보였다.
• $x_5$또한 똑같이 적용된다

• 또한 항상 선형결합식으로 두 벡터를 나타낼 수 있다는 것을 보이기 위에 독립을 이루는 세벡터와 곱해지는 pivot 변수들이 존재함을 보인다.

• 위의 과정을 통해 세 벡터가 선형독립임을 보였고, A의 열공간을 세 벡터가 생성함을 보였다.

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본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

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