[Khan Academy] Matrix vector products as linear transformations (선형변환으로서의 행렬벡터 곱)

• 이번시간에는 행렬벡터연산이 선형변환임을 보인다.
• m x n  행렬 A가 주어졌을 때, n차원 공간에서 m차원으로 선형 변환이 일어난다고 하자
• 이때 벡터 x의 선형변환은 $\mathbb{A}\vec{x}$가 된다.

• 행렬과 곱의 연산을 나타내면 위와 같이 선형 결합으로 나타내지며 m차원의 원소임을 알 수 있다.
• 따라서 $\mathbb{A}\vec{x}$는 m차원의 원소임을 알 수 있다.

• 선형 변환 매핑을 시각화 하면 위와 같이 된다.
• 이 때 앞서 살펴본 선형 변환 형식인 $T(x_1,x_2,...,x_n)=( -,-,-,...,-_m)$과 어떤 관계가 있을까?

• 2 x 2 행렬 B가 주어졌을 때 2차원에서 2차원으로의 선형 변환을 나타내면 위와 같이 정리된다

• 여기서 드는 의문은 행렬의 곱은 언제나 선형 변환가 같은지에 대한 것이다.
• 선형변환의 조건은 가산성과 동차성을 만족시키는 것이다

• 이를 증명하기 위해 $\mathbb{A}\vec{x}$를 사용한다

• 먼저 가산성을 만족함을 보인다

• 동차성 만족을 확인한다.

따라서 가산성과 동차성을 만족하기 때문에 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

Matrix product with vector is always linear transformation

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본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

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