[Khan Academy] Sums and scalar multiples of linear transformations (선형변환의 합과 스칼라곱)

• 이번시간에는 선형변환의 합과 곱에 대해 알아본다
• n차원에서 m차원으로의 선형변환 S와 T가 주어졌다.
• 이 때 다음과 같은 정의 두 가지를 알 수 있다

$$(S+T)(\vec{x})=S(\vec{x})+T(\vec{x})\\ (S+T):\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R^m}$$

 

$$(cS)(\vec{x})=c(S(\vec{x}))\\cS:\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R^m}$$

• 그렇다면 이 변환과 일치하는 행렬은 무엇일까?

• 벡터 x의 선형변환 S는 $\mathbb{A}\vec{x}$로, 벡터 x의 선형변환 T는 $\mathbb{b}\vec{x}$로 나타낼 수 있다.
• 두 선형변환을 더한 것에 벡터 x를 취한 것은 벡터 x의 선형변환 S와 T의 합으로 나타낼 수 있으며, 이는 두 행렬과 벡터의 곱의 합으로 나타낼 수 있다.
• 이 때 행렬 A와 B, 벡터 x가 위와 같이 주어졌다.

• 이 때 행렬 A와 B가 각각 벡터와 곱해진 것을 더한 것을 나열한 뒤 벡터의 원소별로 각 행렬의 벡터를 묶었다.
• 그리고 이것은 두 행렬의 합의 열벡터와 벡터이다.
• 즉 새로운 변환을 만들어 낸다.

• 위와 같이 행렬 A와 B가 합쳐지면 새로운 열 행렬을 생성한다.
• 따라서 다시 정리하면

$$(S+T)(\vec{x})=S(\vec{x})+T(\vec{x})\\=\mathbb{A}\vec{x}+\mathbb{B}\vec{x}=(\mathbb{A}+\mathbb{B})\vec{x}$$

두 선형 변환의 합을 행렬 벡터 곱으로 나타낼 수 있다

 

• 이번에는 선형변환의 곱셈에 대해 알아본다
• 벡터 x를 취하는 스칼라 c가 곱해진 선형변환 S는 $c\mathbb{A}\vec{x}$로 나타낼 수 있다.
• 이를 행렬 A의 열벡터로 나타내고 스칼라값 c를 각 항에 분배해준다.
• 이는 c와 행렬 A의 각 열벡터가 이루는 행렬과 벡터 x가 이루는 행렬벡터곱 형태가 되며 새로운 행렬을 생성하는 것을 볼 수 있다

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본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

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