[Khan Academy] Changing coordinate systems to help find a transformation matrix(변환한 좌표계는 변환행렬 찾기에 도움이 된다)

• 이번시간에는 변환된 좌표계가 변환행렬 찾기에 유용함을 알아본다.
• 여기 직선 L이 주어졌다.

• 직선 L을 기준으로 변환 T를 통해 벡터 x와 v를 변환 시켰다.

• 표준좌표계에서 변환행렬을 구하기 위해선 변환 T에 2차원의 표준 좌표를 넣어준다. (2차원에서의 변환인 경우)
• 하지만 이는 표준기저좌표계에서 쉽게 변환행렬을 구할 수 있는 것이다.

• 좌표평면에 그린 변환을 다시 보면, $\vec{v_1}$과 $vec{v_2}$가 직교이며, 이는 두 벡터가 기저벡터일 때 $\vec{v_2}$ 기준으로 이뤄지는 반사라고 볼 수 있다

• 이전 시간에 봤던 기저 변환에서의 변환 관계를 다시 살펴보자.
• 이 때 새로운 좌표계에서의 변환행렬을 다르게 구하는 방법을 알아보자.

• 위에서 주어진 두 벡터를 기저로 하는 좌표계로 변환을 해보자.
• B에 대한 $\vec{v_1}$의 값은 [1 0]이고, B에 대한 $vec{v_2}$의 값은 [0 1]이 되며, 이 벡터들이 새로운 좌표계의 unit vector가 될 것이다.

 

• 행렬 D는 두 열벡터로 이뤄져 있다.
• D와 B에 대한 값으로 바뀐 $\vec{v_1}$과 $\vec{v_2}$를 각각 곱하면 B에 대한 변환 T에 각 벡터를 대입한 값이 나오게 되며, 이 값들은 행렬  D의 열벡터가 된다.

---

본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

Alternate coordinate systems (bases) | Linear algebra | Math | Khan Academy