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DA_DS_AI_ML/Linear Algebra

[Khan Academy] Null space and column space basis (영공간과 열공간의 기저)

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  • 이번시간에는 행렬의 영공간과 열공간의 기저를 판단하는 내용을 알아본다.
  • 3*4 행렬 A가 주어졌을 때 이 행렬의 열공간은 위와 같이 주어진다.
  • 여기서 드는 의문은 다음과 같다
    • basis가 존재하는가?
    • 선형독립을 띄는 벡터가 존재하는가?
    • 공간을 어떻게 시각화

  • 우선 선형독립인 벡터를 찾기 위해서는 영공간을 찾아본다.
  • 기약행사다리꼴로 행렬을 정리한 뒤 pivot variable로 식을 정리하면 다음과 같이 정리된다

x1=3x32x4nx2=2x3+x4

 

  • 이제 이 정리된 방정식으로 행렬 A의 영공간을 나타내면 free variable과 곱해진 벡터가 이루는 span과 같이 정리된다

  • 그렇다면 이번에는 행렬 A의 열들이 선형 독립인지 알아보자
  • 벡터가 선형 독립이라는 것은
    • Ax=0일 때 이를 만족시키는 해는 영벡터가 유일하다
    • 행렬 A의 영공간의 해는 영벡터가 유일하다
  • 행렬 A의 영공간은 free variable과 곱해진 벡터들의 span이므로 두 번째 조건에서 다르기 때문에 

  • C(A)가 유효한 basis인가에 대한 답을 구해보자.
  • C(A)의 선형독립은 지켜지지 않는다
  • C(A)를 이루는 열벡터는 C(A)의 basis가 아님을 알 수 있다

  • 따라서 C(A)에서 중복되는 벡터를 제거해 basis를 구할 수 있다
  • 이를 구하기 위해서 Ax=0을 이용한다

  • 여기서 free variable과 pivot variable을 이용해 지울 수 있는 벡터를 찾아본다.
  • x3=0, x4=1이라고 가정한다면 x4x1x2로 나타낼 수 있기 때문에 중복벡터임을 알 수 있다

  • 위와 마찬가지로 x3=1, x4=0를 이용해 x3이 중복벡터임을 알 수 있다

  • 따라서 행렬 A의 열공간을 다시 정의할 수 있다

  • 여기서 새롭게 만들어진 span은 선형독립임이 학인되었으므로 이는 행렬 A 열공간의 기저임을 알 수 있다.

본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

 

Vectors and spaces | Linear algebra | Math | Khan Academy

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