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- 이번 시간에는 지난시간에 구한 행렬 A의 열공간과 기저를 이용해 열공간을 평면으로 나타내는 방법에 대해 알아본다.
- 먼저 두 벡터를 3차원 좌표평면계에 나타낸다.
- 이 두 벡터가 이루는 공간은 면임을 알 수 있다
- 먼저 평면의 방정식을 통한 (법선벡터를 통한) 면의 방정식을 구해보자
- 법선 벡터는 두 벡터의 외적이므로 두 벡터를 외적해 구한다.
- 정리된 면의 방정식은 $5x-y-z=0$이 되며, 이는 A의 열공간이자 원점을 지나가는 면이다.
- 원점을 지나가는 이유는 다음과 같다
- 행렬의 열공간이다 = 유효한 부분집합 = 영벡터를 포함
- 또한 두 벡터의 외적으로 법선벡터가 만들어진다는 것은 다음과 같은 의미를 지닌다
- 기반이 되는 두 벡터가 평면에 완전히 포함된다
- 따라서 외적을 통해 평면에 수직인 법선 벡터를 구할 수 있다
- 이어서 $ \{A\vec{x}\vert\vec{x}\in\mathbb{R^n} \}$을 통해 구하는 방법이다
- 이는 $\{\vec{b}\vert A\vec{x}=\vec{b},\vec{x}\in\mathbb{R^n}\}$과 같은 의미이다
- 벡터 b가 위와 같이 주어졌을 때 $A\vec{x}=\vec{b}$를 구해보자
- 기약행사다리꼴을 이용해 행렬을 정리한다.
- 마지막 사다리꼴에서 맨 마지막 항이 모두 0이 되는 것을 볼 수 있다
- 여기서 b부분이 0이 되지 않으면 식이 성립하지 않기 때문에 $2x-y-z+3x$도 0이 되어야 한다
- 따라서 식을 정리하면 $5x-y-z=0$이 나오며, 이는 평면의 방정식을 이용해 구한 열공간의 영역과 같음을 알 수 있다
본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.
Vectors and spaces | Linear algebra | Math | Khan Academy
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