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- 이번시간에는 기저의 원소수에 대해 알아본다
- 여기서 A는 v의 basis이다
- 여기서 m개의 원소를 가지는 집합 B가 주어졌을 때 이 집합은 V를 생성할까?
- 이 때 $B'_1$이라는 벡터 집합이 주어지며 A집합의 원소인 $\vec{a_1}$가 원소로 추가되었다.
- 이 집합은 선형 종속을 이룬다
- $B'_1$의 원소를 $\vec{a_1}$을 기준으로 정리해보면 $\vec{a_1}$을 제외한 나머지 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있다.
- 여기서 선형결합을 이루는 스칼라 값 중 $d_j$가 0이 아니라고 하자.
- 그리고 $b_j$를 기준으로 식을 정리하게 되면 다른 원소들의 선형 결합으로 $b_j$를 나타낼 수 있기 때문에 $b_j$가 없어도 V를 span할 수 있다
- 그래서 $b_j$ 를 $b_1$을 바꾸고 집합 $B_1$에서 $b_1$을 제거하더라도 여전히 V를 생성할 수 있다.
- $B'_2$ 집합에 대해서도 위와 같은 작업을 진행한다.
- 이번에는 $\vec{a_2}$를 추가한다
- $\vec{a_2}$를 다른 벡터들의 선형결합으로 나타낼 때, $\vec{a_1}$과 $\vec{a_2}$는 독립이므로 스칼라값인 $c_i$가 모두 0일 수는 없다
- $\vec{a_2}$를 다른 원소들의 선형결합으로 나타낸다
- 그중 한 원소인 $\vec{b_j}$를 다른 원소들의 선형결합으로 나타낼 수 있음을 확인하였다.
- 즉 $\vec{b_j}$를 제외한 나머지 원소들로도 V를 생성할 수 있다
- 여기서 $vec{b_j}$를 $\vec{b_2}$라고 하고 이를 제거한 집합은 $B_2$가 된다.
- 위 과정을 m번 반복하면 $\vec{a_1}$~$\vec{a_m}$이 원소인 집합 $B_m$이 만들어지고 이 집합의 원소들은 여전히 V를 생성하는 것을 알 수 있다
- 여기서 약간의 모순이 생긴다
- 집합 A는 V의 기저이고 이는 V를 생성하며 원소들이 선형 독립이라는 뜻이다.
- 하지만 $B_m$에서 A의 부분집합인 $\vec{a_1}$~$\vec{a_m}$이 V를 생성한다는 것은 A의 원소가 더이상 선형 독립하지 않다는 이야기가 된다.
따라서 다음과 같은 정의를 내릴 수 있다
Span 가능한 집합 B의 원소는 집합 A의 원소보다 적을 수 없다
V의 부분집합의 basis 벡터는 모두 같은 원소 개수를 가지며
이를 $dim(V)$(V의 basis원소 수)라고 한다
본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.
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