[Khan Academy] Null space and column space basis (영공간과 열공간의 기저)

• 이번시간에는 행렬의 영공간과 열공간의 기저를 판단하는 내용을 알아본다.
• 3*4 행렬 A가 주어졌을 때 이 행렬의 열공간은 위와 같이 주어진다.
• 여기서 드는 의문은 다음과 같다
  • basis가 존재하는가?
  • 선형독립을 띄는 벡터가 존재하는가?
  • 공간을 어떻게 시각화

• 우선 선형독립인 벡터를 찾기 위해서는 영공간을 찾아본다.
• 기약행사다리꼴로 행렬을 정리한 뒤 pivot variable로 식을 정리하면 다음과 같이 정리된다

$$x_1 = -3x_3-2x_4\\n x_2 = 2x_3+x_4$$

 

• 이제 이 정리된 방정식으로 행렬 A의 영공간을 나타내면 free variable과 곱해진 벡터가 이루는 span과 같이 정리된다

• 그렇다면 이번에는 행렬 A의 열들이 선형 독립인지 알아보자
• 벡터가 선형 독립이라는 것은
  • $A\vec{x}=0$일 때 이를 만족시키는 해는 영벡터가 유일하다
  • 행렬 A의 영공간의 해는 영벡터가 유일하다
• 행렬 A의 영공간은 free variable과 곱해진 벡터들의 span이므로 두 번째 조건에서 다르기 때문에 

• C(A)가 유효한 basis인가에 대한 답을 구해보자.
• C(A)의 선형독립은 지켜지지 않는다
• C(A)를 이루는 열벡터는 C(A)의 basis가 아님을 알 수 있다

• 따라서 C(A)에서 중복되는 벡터를 제거해 basis를 구할 수 있다
• 이를 구하기 위해서 $A\vec{x}=0$을 이용한다

• 여기서 free variable과 pivot variable을 이용해 지울 수 있는 벡터를 찾아본다.
• $x_3=0$, $x_4=-1$이라고 가정한다면 $x_4$는 $x_1$과 $x_2$로 나타낼 수 있기 때문에 중복벡터임을 알 수 있다

• 위와 마찬가지로 $x_3=-1$, $x_4=0$를 이용해 $x_3$이 중복벡터임을 알 수 있다

• 따라서 행렬 A의 열공간을 다시 정의할 수 있다

• 여기서 새롭게 만들어진 span은 선형독립임이 학인되었으므로 이는 행렬 A 열공간의 기저임을 알 수 있다.

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본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다.

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