DA_DS_AI_ML/Linear Algebra (83) 썸네일형 리스트형 [Khan Academy] Preimage and kernel example (원상과 커널 ) 이번시간에는 원상 구하는 과정을 시각화 하고 커널에 대해 알아본다. 2차원에서 2차원으로 매핑하는 선형변환과 식이 주어졌다. S가 두 벡터로 주어졌을 때, S의 원상도 주어졌다. S의 원상은 집합 S를 정의역으로 선형변환시킨 값의 집합이며, 주어진 선형변환식의 값이 S의 원소를 만족시키는 값이어야 한다. 선형변환식을 만족시키기 위한 값을 구하기 위해 첨가행렬에서 기약행사다리꼴을 이용해 행렬을 정리한다. 이 때 [0 0]을 만족시키는 해는 영공간을 구하는 것과 같다. 기약행사다리꼴에서 free variable은 $x_2$이므로 이 값은 실수값 t가 될 것이다. 각 식에서 나온 방정식을 $x_1$을 기준으로 정리하면 위와 같이 정리된다. 도출된 해를 그래프상에 그려보자. 실선은 위치벡터이며, 형광펜은 t배 .. [Khan Academy] Preimage of a set (집합의 원상) 이번시간에는 원상(preimage)에 대해 알아본다. X에서 Y로의 선형변환이 주어졌을 때, X의 부분집합 A가 Y로 선형변환되어 매핑된 것을 T(A)라는 것을 지난시간까지 배웠다. 그렇다면 공역의 부분집합이 정의역으로 매핑된다면 이는 어떻게 될까? (이때 부분집합 S는 X에서 사상된 선형변환이다.) 이는 S의 원상이라고 부른다. 또한 선형변환 S의 원상의 상은 S와 완전히 같을 수도 있고 아닐 수도 있다. 본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다. Matrix transformations | Linear algebra | Math | Khan Academy Understanding how we can map one set of vectors to another set. Matrice.. [Khan Academy] im(T): Image of a transformation (im(T)) 이번시간에는 부분공간을 선형변환 했을 때의 상에 대해 알아본다. n차원의 부분집합 v가 주어졌을 때 v의 원소로 부분공간임을 증명하였다. 이 때 T(v)도 부분공간인가? 벡터 a와 벡터 b의 선형변환이 v의 선형변환의 원소라고 할 때, 선형변환의 특징을 보이며 T(v)는 부분공간임을 증명하였다. 선형변환에서의 n차원의 상은 ${T(\vec{x})|\vec{x}\in\mathbb{R^n}}$의 집합으로 표현할 수 있다. 여기서 선형변환이 n차원에서 m차원으로 나타난다고 할 때, m차원으로 n차원의 값이 mapping된 것(range)를 im(T)라고 한다. 또한 이러한 im(T)를 열벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다. Matrix transf.. [Khan Academy] Image of a subset under a transformation (선형변환에서의 부분집합의 상) 이번시간에는 임의의 벡터가 주어졌을 때 선형 변환에서의 부분집합의 상을 알아보도록 한다. 여기서 세 벡터가 주어졌고, 이를 좌표평면계에 나타내었다. 주어진 세 벡터에서 두 벡터를 조합해 집합을 만들면 위와 같은 $L_0,L_1,L_2$가 나온다 그리고 이 세 집합을 다시 묶으면 집합 S가 만들어진다. 그렇다면 집합 S에 선형 변환이 일어난다면 어떻게 될까? 먼저 벡터 x의 선형 변환을 정의하였다. 그리고 이 선형변환에 $L_0$는 선형변환의 특징으로 인해 $\vec{x_0}$와 $\vec{x_1}$의 선형변환으로 나타낼 수 있게 된다. 우선 앞서 주어진 벡터들의 선형변환을 위에서 정의한 벡터들을 선형변환하고 이를 그래프상에 나타냈다 그리고 앞서 정의한 두 벡터의 집합을 벡터의 선형변환으로 표기할 수 있음.. [Khan Academy] Linear transformations as matrix vector products (행렬 벡터 곱으로서의 선형변환) 이번시간에는 단위행렬과 선형변환의 관계에 대해 알아본다. n x n이고 대각성분이 1인 행렬을 단위행렬(identity matrix)라고 한다 주어진 단위벡터에 n차원의 벡터를 곱하면 벡터 자기 자신이 나온다 여기서 단위행렬의 각 열을 열벡터라고 본다면 이는 n차원의 표준 기저가 된다. 기저가 되기 위한 두 조건을 만족시킨다. 이제 임의 벡터의 선형 변환이 행렬곱으로 표현 가능함을 보인다. 벡터 x는 단위행렬의 열벡터와의 행렬벡터 곱의 선형결합으로 나타낼 수 있으며 이를 선형변환으로 나타내면 행렬과 벡터의 곱으로 나타낼 수 있다 따라서 위를 통해 다음과 같은 정의를 얻을 수 있다 All linear transformation can be represented by mastrix vector product.. [Khan Academy] Matrix vector products as linear transformations (선형변환으로서의 행렬벡터 곱) 이번시간에는 행렬벡터연산이 선형변환임을 보인다. m x n 행렬 A가 주어졌을 때, n차원 공간에서 m차원으로 선형 변환이 일어난다고 하자 이때 벡터 x의 선형변환은 $\mathbb{A}\vec{x}$가 된다. 행렬과 곱의 연산을 나타내면 위와 같이 선형 결합으로 나타내지며 m차원의 원소임을 알 수 있다. 따라서 $\mathbb{A}\vec{x}$는 m차원의 원소임을 알 수 있다. 선형 변환 매핑을 시각화 하면 위와 같이 된다. 이 때 앞서 살펴본 선형 변환 형식인 $T(x_1,x_2,...,x_n)=( -,-,-,...,-_m)$과 어떤 관계가 있을까? 2 x 2 행렬 B가 주어졌을 때 2차원에서 2차원으로의 선형 변환을 나타내면 위와 같이 정리된다 여기서 드는 의문은 행렬의 곱은 언제나 선형 변환가 .. [Khan Academy] Visualizing linear transformations (벡터 변환 시각화) 일차원에서의 선형 변환을 나타낸다 이차원에서의 선형 변환을 나타낸다 선형변환은 1. 원본은 남아 고정되어야 한다 2. 모든 라인은 라인이어야 한다. 2차원 행렬의 선형 변환을 보자 원소가 x, y인 벡터 v가 주어졌을 때 위와 같이 표현할 수 있다. 또한 이를 행렬로 나타내면 행렬의 선형 변환은 위와 같이 나타낼 수 있으며 2차원 행렬의 선형 변환은 1 ,0과 0,1을 컬럼으로 가지는 2*2의 선형변환이라고 할 수 있다. 본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다. Matrix transformations | Linear algebra | Math | Khan Academy Understanding how we can map one set of vectors to another set... [Khan Academy] Linear transformations (선형 변환) 이번시간에는 선형 변환에 대해 알아본다 선형변환의 정의는 위와 같다 선형 변환을 보이는 과정을 보자. 2차원에서 2차원으로 변형되는 선형 변환이 있을 때, 이를 선형변환인지 보인다. 이 때 2차원 벡터 a와 b가 주어졌을 때 이를 더하여 선현 변환을 한 결과를 보인다. 이에 벡터 a와 b를 각각 선형변환한 결과를 더한 값과 비교하였을 때 값이 같으므로 선형변환의 첫 번째 조건을 만족한다. 이번에는 두 번째 조건인 동차성 만족을 보인다. 따라서 주어진 선형 변환은 선형 변환이 맞다. 이와 같이 선형변환의 반례도 찾을 수 있다. 본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다. Matrix transformations | Linear algebra | Math | Khan Academy Unde.. 이전 1 ··· 3 4 5 6 7 8 9 ··· 11 다음
