DA_DS_AI_ML/Linear Algebra (83) 썸네일형 리스트형 [Khan Academy] Rowspace solution to Ax = b example (Ax=b의 행공간 해 예제) 이번 시간에는 Ax=b의 행공간 해의 예제를 살펴본다. 행렬 A와 벡터 b가 주어졌을 때의 행공간, 영공간, 해집합의 관계를 알아보자. 기약행사다리꼴로 행렬을 변환한 뒤 pivot 변수를 기준으로 해를 정리한다. 이 때 영공간은 위와 같이 된다. 이번에는 $A\vec{x}=\vec{b}$를 나타내보자 첨가행렬로 기약행사다리꼴을 정리한다. 해집합은 위와 같이 나온다 행공간은 위와 같이 나온다 위에서 구한 각 공간과 집합을 좌표평면에 나타냈다. 여기서 행공간에 있으며 해집합에 한 점을 가리키는 벡터r이 존재하며, 이는 가장 짧은 해가 된다. 여기서 벡터 r은 행공간의 span의 scaling으로 나타낼 수 있다. 이 때 해집합에 있는 벡터 k는 평행이동을 하여 영공간의 원소로 나타낼 수 있다. 즉, 행공간의.. [Khan Academy] Unique rowspace solution to Ax = b (Ax=b의 고유한 행공간 해) 이번시간에는 행공간에서의 유일한 해를 보인다. 행렬 A가 주어지고, 벡터 b는 행렬 A의 열공간의 원소일 때, 이는 행렬 A의 열벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 즉 $A\vec{x}=\vec{b}$를 만족하는 원소가 적어도 하나는 존재한다는 것이다. n차원 공간에 행렬 A의 영공간과 행렬 A의 영공간의 직교여공간이 주어졌다. 각 공간에서 벡터 n과 벡터 r이 주어진다. n차원에 있는 임의의 벡터를 x라고 할때, 이는 $A\vec{x}=\vec{b}$의 해가 된다. 벡터 x는 영공간($vec{n_0}$과 영공간의 직교여공간($vec{r_0}$)의 합으로 나타낼 수 있다. $\vec{r_0}=\vec{x}-\vec{n_0}$라고 하자 행렬 A에 이를 곱하게 될 경우 벡터 b가 나오게 된다. 따라서 $\.. [Khan Academy] Orthogonal complement of the nullspace (영공간의 직교여공간) 이번시간에는 영공간의 직교여공간에 대해 알아본다 이전시간에 배운 내용으로 전치행렬의 열공간의 직교여공간은 영공간이다 열공간의 직교여공간은 좌영공간이다 그렇다면 영공간에서의 직교여공간을 알아보자 영공간의 직교 여공간은 행공간의 직교여공간의 직교여공간으로 나타낼 수 있다. 이는 직교여공간의 직교여공간은 원래 부분공간이 나온다는 것을 통해 행공간이 나옴을 알 수 있다. 전치행렬의 영공간의 직교여공간은 열공간의 직교여공간의 여공간으로 나타낼 수 있다. 이는 직교여공간의 직교여공간은 원래 부분공간이 나온다는 것을 통해 열공간이 나옴을 알 수 있다. 본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다. Alternate coordinate systems (bases) | Linear algebra | Ma.. [Khan Academy] Orthogonal complement of the orthogonal complement (직교여공간의 직교여공간) 이번시간에는 직교여공간의 직교여공간에 대해 알아본다. 직교여공간의 직교여공간은 원래 부분공간보다 큰 부분공간일까? 이를 증명하기 위한 첫 번째 방법은 직교여공간의 직교여공간의 원소는 기존 부분공간의 원소라는 가정을 보이는 것이다. 직교 여공간의 직교여공간의 원소(벡터 x)를 원래 부분공간 V(벡터v)와 직교여공간(벡터 w)의 원소의 합으로 나타낼 수 있다고 하자 이 때 벡터 x와 벡터 w를 내적한 값은 0이된다. 이를 이용해 식을 전개하여 벡터 w가 영벡터가 됨을 보였다. 따라서 벡터 x와 벡터 v가 같으며, 벡터 x는 원래 부분공간의 원소가 된다. 두 번째 증명 방법은 기존 부분공간의 원소는 직교여공간의 원소임을 보이는 것이다. 부분공간V의 원소인 벡터 v를 직교여공간의 원소 벡터 w와 직교여공간의 직.. [Khan Academy] Representing vectors in rn using subspace members(부분공간의 원소 이용해 rn벡터 나타내기) 이번시간에는 부분공간의 원소를 이용해 n차원의 벡터를 나타낸다 부분공간 V와 직교여공간 V가 모두 n차원의 부분공간이면 두 공간의 차원의 수를 더하면 n이 나옴을 지난 시간에 살펴보았다 그렇다면 두 부분공간이 공통으로 가지는 벡터가 존재할까? 벡터 x가 두 부분공간의 원소라고 하자. 이 경우 벡터 x를 내적하게 되면 0이 나오고, 길이가 0이 되는 벡터는 영벡터가 유일하다. 따라서 두 부분공간의 교집합은 영벡터가 유일하다. 이번에는 두 부분공간의 차원을 더해서 n차원의 기저가 나오는지 알아본다. 각 공간의 기저벡터와 차원이 주어졌다. 이때 두 기저벡터 집합을 선형결합으로 나타 낸 것의 합이 영벡터일 경우 두 집합을 합친 것은 n차원의 기저가 된다. 영벡터가 두 집합의 선형결합의 합의 유일한 해인지 알아보.. [Khan Academy] dim(v) + dim(orthogonal complement of v) = n (부분공간의 차원과 부분공간의 직교여집합의 차원을 더하면 열의 개수) 이번시간에는 부분공간 v의 차원과 부분공간 v의 직교여공간의 차원을 더하면 열의 개수가 나온다는 것을 알아본다 부분공간 V는 k개의 벡터가 기저이며, k차원이다. 이 때 n x k의 행렬 A가 주어졌다. 행렬 A의 열공간이 주어졌으며, 부분공간 V와 같다. 이전시간 증명에 의해 전치행렬 A의 영공간은 행렬 A의 열공간의 직교여공간과 같으며, 부분공간 V의 직교여공간과 동일하다. 여기서 V의 직교여공간의 차원과 전치행렬 A의 영공간의 차원이 동일하다는 것을 알 수 있다. 즉 전치행렬 A의 rank와 nulity를 더하면 컬럼의 수가 나온다는 것이다. 행렬 B로 좀 더 자세하게 알아보자. 행렬 B에서 기약행사다리꼴을 만들었다. 여기서 pivot column수는 열공간의 차원이 된다 여기서 free varia.. [Khan Academy] Orthogonal complements (직교여공간) 이번시간에는 직교여공간(othogonal complemet)에 대해 알아본다 부분공간 V의 직교여공간은 위와 같이 정의된다 V의 직교여공간이 부분공간인지 확인하는 과정이다. 여기서 0은 공간의 원소이다. 몇 차시 전 A의 영공간의 A의 전치행렬 열공간의 직교여공간임을 말하였다. 벡터 V가 행렬A의 원소라면 행렬 A의 행과도 직교하게 될 것이다 (두 값의 내적이 0) 이는 행렬 A의 선형결합과도 직교라는 의미가 된다. 위에서 구한 선형결합의 벡터 w는 행렬 A의 전치행렬의 열공간의 원소(행공간의 원소)라고 할 수 있다. 여기서 두 벡터를 내적한 값이 0이 나오기 때문에 A의 영공간과 전치행렬의 열공간이 직교다고 할 수 있다 만약 벡터 u가 행렬 A의 행공간의 직교여공간의 원소라면 이는 행렬 A의영공간의 원.. [Khan Academy] Showing that A-transpose x A is invertible (전치행렬 X 행렬 = 역행렬이 존재한다) 이번시간에는 전치행렬과 행렬을 곱하면 역행렬이 존재함을 보인다. n x k의 행렬 A가 주어진다. 행렬 A의 각 열벡터는 선형독립이다. 여기서 전치행렬과 행렬을 곱하면 역행렬이 존재한다는 것을 보인다. 행렬 A가 선형독립이기 때문에 K x k 단위행렬이 도출될 수 있다. k x 1의 벡터가 $A^TA$의 원소라고 하자. 일련의 과정을 통해 벡터 v가 영공간의 원소임을 보였다 여기서 벡터 v가 $A^TA$의 영공간의 원소라는 것은 행렬 A의 영공간의 원소이기도 하다. 따라서 $A^TA$의 연산으로 새로운 행렬이 나오게 되고, 이 값에 대한 해를 구하면 $A^TA$의 열이 선형독립이기 때문에 해가 하나만 나오게 된다. 그렇기 때문에 $A^TA$의 기약행사다리꼴은 단위행렬이 나오게 되므로 $A^TA$은 역행렬.. 이전 1 2 3 4 5 6 ··· 11 다음
