영공간 (7) 썸네일형 리스트형 [Khan Academy] Rowspace solution to Ax = b example (Ax=b의 행공간 해 예제) 이번 시간에는 Ax=b의 행공간 해의 예제를 살펴본다. 행렬 A와 벡터 b가 주어졌을 때의 행공간, 영공간, 해집합의 관계를 알아보자. 기약행사다리꼴로 행렬을 변환한 뒤 pivot 변수를 기준으로 해를 정리한다. 이 때 영공간은 위와 같이 된다. 이번에는 $A\vec{x}=\vec{b}$를 나타내보자 첨가행렬로 기약행사다리꼴을 정리한다. 해집합은 위와 같이 나온다 행공간은 위와 같이 나온다 위에서 구한 각 공간과 집합을 좌표평면에 나타냈다. 여기서 행공간에 있으며 해집합에 한 점을 가리키는 벡터r이 존재하며, 이는 가장 짧은 해가 된다. 여기서 벡터 r은 행공간의 span의 scaling으로 나타낼 수 있다. 이 때 해집합에 있는 벡터 k는 평행이동을 하여 영공간의 원소로 나타낼 수 있다. 즉, 행공간의.. [Khan Academy] Visualizations of left nullspace and rowspace (행공간과 좌영공간 시각화) 이번시간에는 좌영공간과 행공간을 시각화한다. 행렬 A가 주어지고 행렬 A와 전치행렬 A에 대한 영공간과 열공간이 주어졌다. 행렬 A의 영공간과 행렬 A의 전치행렬의 영공간을 2차원공간의 부분공간이라 하고 좌표계에 그리면 두 span이 서로 othogonal임을 알 수 있다. 이를 수식으로 보이면 위와 같다. othogonal일 경우 두 벡터의 내적값이 0이기 때문에 이를 이용하여 두 벡터가 직교함을 보였다. 또한 행렬 A의 열공간의 여집합은 전치행렬 A의 영공간이라는 뜻이 된다. 이번에는 행렬 A의 영공간과 전치행렬 A의 열공간이 수직임을 보인다. 영공간의 벡터가 2개이기 때문에 열공간의 벡터와 두 벡터를 각각 내적하여 0이 나옴을 확인하였다. 이를 좀 더 일반화하여 수식으로 보이면 위와 같이 나타낼 수.. [Khan Academy] Showing relation between basis cols and pivot cols (기저를 이루는 열과 pivot 열의 관계) 이번시간에는 기약행사다리꼴의 pivot column과 basis를 이루는 열 사이의 관계에 대해 알아본다. A의 기약행 사다리꼴인 R의 pivot column과 대응되는 A의 column은 A의 basis를 이룬다 pivot column은 서로가 선형독립인 관계이다 pivot column은 서로의 선형결합으로 나타낼 수 없기 때문이다 어떤 기약행사다리꼴의 pivot column의 집합은 선형독립이다. 즉, 세 벡터를 선형결합으로 나타냈을 때 유일한 해는 0이라는 것이다. 여기서 행렬 R에 영공간을 구하기 위한 식을 세운다 그리고 행렬곱을 하면 선형결합이 0으로 나온다 본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다. Vectors and spaces | Linear algebra | Math.. [Khan Academy] Null space and column space basis (영공간과 열공간의 기저) 이번시간에는 행렬의 영공간과 열공간의 기저를 판단하는 내용을 알아본다. 3*4 행렬 A가 주어졌을 때 이 행렬의 열공간은 위와 같이 주어진다. 여기서 드는 의문은 다음과 같다 basis가 존재하는가? 선형독립을 띄는 벡터가 존재하는가? 공간을 어떻게 시각화 우선 선형독립인 벡터를 찾기 위해서는 영공간을 찾아본다. 기약행사다리꼴로 행렬을 정리한 뒤 pivot variable로 식을 정리하면 다음과 같이 정리된다 $$x_1 = -3x_3-2x_4\\n x_2 = 2x_3+x_4$$ 이제 이 정리된 방정식으로 행렬 A의 영공간을 나타내면 free variable과 곱해진 벡터가 이루는 span과 같이 정리된다 그렇다면 이번에는 행렬 A의 열들이 선형 독립인지 알아보자 벡터가 선형 독립이라는 것은 $A\vec{.. [Khan Academy] Null space 3: Relation to linear independence (영공간 3 : 선형결합과의 관계) 이번시간에는 영공간과 선형독립간의 관계를 살펴본다. m x n의 행렬 A가 주어졌고, 행렬의 각 열을 m차원의 벡터라고 생각하자. 앞서 보았던 영공간의 수식을 다시 보면 벡터 x의 차원이 n차원임을 알 수 있다. 이는 행렬이 m x n 이기 때문이다. 위의 영공간의 정의를 다시 행렬과 벡터의 곱으로 나타냈다. 이를 수식으로 나타내면 열벡터와 스칼라값이 곱해져 더해진 것이 영벡터이다. 따라서 행렬 A를 이루는 열벡터는 서로 선형 독립임을 알 수 있고, 이는 벡터의 유일한 해가 0이라는 것이고, 행렬 A의 영공간이 영벡터만 있다는 것을 의미한다. 본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다. Vectors and spaces | Linear algebra | Math | Khan Academ.. [Khan Academy] Null space 2: Calculating the null space of a matrix (영공간 구하기) 이번 시간에는 영공간을 어떻게 구하는지 알아본다. 영공간은 행렬과 곱했을 때 영벡터가 나오는 모든 벡터의 집합을 말한다. 3 x 4의 행렬 A가 주어졌을 때 이를 $x_1, x_2, x_3, x_4$를 곱했을 때 영벡터가 나오게 하는 벡터의 집합을 N(A) (영공간)이라고 한다 영공간을 구하는 방법은 주어진 행렬의 방정식을 만족시키는 해를 구하는 것이다. 주어진 행렬과 영벡터를 행렬로 만든 뒤 다시 기약행사다리꼴로 바꾼다. 그리고 다시 방정식으로 변환한 뒤 $x_1$과 $x_2$로 정리한다. 정리한 식을 다시 두 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있으며 두 열벡터의 선형결합이 해집합이 된다. 따라서 선형결합을 이루는 벡터는 영공간의 Span이 된다. 본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니.. [Khan Academy] Introduction to the null space of a matrix (행렬 영공간 1) 이번시간에는 영공간(null space)에 대해 알아본다. 그 전에 부분집합에 대해 다시 한 번 집고 넘어가자. 부분 집합이 되기 위한 조건은 다음과 같다. 1. 영벡터를 포함한다 2. 덧셈에 대해 닫혀있다 3. 곱셈에 대해 닫혀있다 m x n 행렬 A가 주어졌을 때 $\mathbb{A}\vec{x}=\vec{0]$의 동차방정식도 주어졌다고 하자 이 때 집합 N이 부분공간을 만족할지 알아보자 먼저 영벡터를 포함하는지 확인한다. 행렬 A에 영벡터를 곱하면 영벡터가 나오므로 영벡터는 집합 N의 원소이다. 따라서 영벡터가 존재한다 두 번째로는 덧셈에 대해 닫혀있는지 확인한다 집합 N의 원소인 $\vec{v_1}$과 $\vec{v_2}$가 주어졌을 때 행렬 A와 두 벡터를 곱한 값이 영벡터가 나오는 것을 확인하.. 이전 1 다음
