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[Khan Academy] Linear transformations (선형 변환) 이번시간에는 선형 변환에 대해 알아본다 선형변환의 정의는 위와 같다 선형 변환을 보이는 과정을 보자. 2차원에서 2차원으로 변형되는 선형 변환이 있을 때, 이를 선형변환인지 보인다. 이 때 2차원 벡터 a와 b가 주어졌을 때 이를 더하여 선현 변환을 한 결과를 보인다. 이에 벡터 a와 b를 각각 선형변환한 결과를 더한 값과 비교하였을 때 값이 같으므로 선형변환의 첫 번째 조건을 만족한다. 이번에는 두 번째 조건인 동차성 만족을 보인다. 따라서 주어진 선형 변환은 선형 변환이 맞다. 이와 같이 선형변환의 반례도 찾을 수 있다. 본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다. Matrix transformations | Linear algebra | Math | Khan Academy Unde..
[Khan Academy] Vector transformations (벡터 변환) 이번시간에는 벡터 변환에 대해 알아본다. $\vec{x}\in\matnbb{R^n}$이라 하면 위와 같이 $\vec{x}$와 $\mathbb{R}$이 정의된다 여기서 $\mathbb{R^n}$의 원소인 $vec{x}$를 $mathbb{R}$의 원소 $vec{y}$로 매핑한다. 여기서 공역의 차원이 1보다 클 경우 벡터 함수를 다루게 된다. 함수가 위와 같이 정의되어 있을 때 연산을 시각화 해보자 각각 [1,1,1]과 [2,4,1]의 값이 주어졌을 때 3차원에서 2차원으로 값을 매핑하는 것을 나타낸다. 이 과정을 Transformation이라고 한다. 벡터에서의 함수 연산을 말하며, 대문자 T로 나타낸다 본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다. Matrix transformations..
[Khan Academy] A more formal understanding of functions (함수 이해하기) 이번 시간에는 함수에 대해 알아본다. 함수란? 한 집합의 원소와 다른 집합의 원소들과의 관계 X의 영역에서 Y의 영역으로 대응 시키는 것을 사상(mapping)이라고 한다. 만약 $f(x)=x^2$이라면 $f:x->x^2$을 말한다. $f:\mathbb{R}->\mathbb{R}$로 값의 집합이 정해진다. 함수에서 사용되는 용어에 대해 짚어보고 넘어가자 1. 정의역 (domain) 2. 공역 (co-domain) : 대응 대상이 되는 집합 3. 치역(range) : 대응 대상이 될 가능상이 있는 집합 즉, 치역은 공역의 부분집합이 된다. 정의역, 공역, 치역의 관계를 도식으로 나타내면 위와 같다 4. 실수값 함수 : 공역이 실수인 함수 -> 일반적으로 보는 함수 5. 벡터값 함수 : 공역의 차원이 2차원..
[Khan Academy] Showing that the candidate basis does span C(A) (후보 기저의 A의 열공간 생성) 이번시간에는 후보 기저와 열공간 기저에 대해 알아본다. $\vec{a_1},\vec{a_2}\vec{v_4}$가 A 열공간의 기저라고 할 경우 다음 조건을 충족해야 한다. 세 벡터는 선형독립이다 세 벡터는 열공간을 생성한다 이 때 $A\vec{x}=\vec{0}$, $B\vec{x}=\vec{0}$로 나타내고 두 연산에 대해 연산을 수행하자. 그리고 각 연산에서 pivot column과 관련 있는 벡터와 아닌 벡터를 구분한다 그리고 자유변수가 실수범위에 있다고 하고 pivot 변수를 자유변수로 나타냈다. A의 세 벡터로 다른 두 벡터를 나타낼 수 있음을 보기기 위해 $-x_3\vec{a_3}$을 양 변에서 빼준다 $x_3$이 -1, $x_5$가 0이라고 하면 다른 세 벡터의 선형결합으로 $x_3$을 나타..
[Khan Academy] Showing relation between basis cols and pivot cols (기저를 이루는 열과 pivot 열의 관계) 이번시간에는 기약행사다리꼴의 pivot column과 basis를 이루는 열 사이의 관계에 대해 알아본다. A의 기약행 사다리꼴인 R의 pivot column과 대응되는 A의 column은 A의 basis를 이룬다 pivot column은 서로가 선형독립인 관계이다 pivot column은 서로의 선형결합으로 나타낼 수 없기 때문이다 어떤 기약행사다리꼴의 pivot column의 집합은 선형독립이다. 즉, 세 벡터를 선형결합으로 나타냈을 때 유일한 해는 0이라는 것이다. 여기서 행렬 R에 영공간을 구하기 위한 식을 세운다 그리고 행렬곱을 하면 선형결합이 0으로 나온다 본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다. Vectors and spaces | Linear algebra | Math..
[Khan Academy] Dimension of the column space or rank (열공간의 차원 - 랭크) 이번시간에는 열공간의 차원에 대해 다룬다. 행렬 A가 주어지고 각 열벡터들은 행렬 A의 열공간을 생성한다. 이 때 행렬 A의 열공간이 기저인가? 행렬 A를 기약행사다리꼴로 나타내고 이를 R이라고 하자 여기서 R의 pivot column은 서로 선형 독립임을 알 수 있다. 즉, 행렬 A에서 R에 대응하는 열벡터도 선형독립이다. 행렬 A의 세 벡터의 선형결합은 다른 벡터를 생성하며, 선형 독립이므로 행렬 A 열공간의 기저가 된다. C(A)의 차원은 3이다. 열공간의 차원은 rank라고 부르며, 모든 열공간을 생성하는 선형독립인 열벡터의 개수이다. 본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다. Vectors and spaces | Linear algebra | Math | Khan Academ..
[Khan Academy] Dimension of the null space or nullity (영공간의 차원 - nullity) 이번시간에는 영공간의 차원에 대해 알아본다 행렬 B가 주어졌을 때 이 행렬의 영공간을 만족시키는 해집합을 구해보자 행렬의 영공간은 행렬의 기약행사다리꼴의 영공간과 같다. 따라서 행렬 B의 기약행 사다리꼴을 구해 pivot 변수를 기준으로 방정식을 정리한다 각 해집합의 각 원소를 자유 변수의 선형결합으로 나타내면 $B\vex{x}$의 해집합은 $\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}$가 됨을 알 수 있다. 또한 행렬 B의 영공간이 되며 이를 span한다. 이 때 세 벡터는 선형독립인가? 세 벡터가 선형독립인 것은 영공간의 기저가 된다는 뜻이다 다시 자유변수의 선형결합을 살펴보자. 자유변수는 서로 선형독립관계임을 알 수 있다. 따라서 세 벡터는 선형 독립이며, 행렬 B의 basis가 됨을 알 ..
[Khan Academy] Proof: Any subspace basis has same number of elements (증명 : 어떤 기저의 부분집합도 같은 원소 수를 가진다) 이번시간에는 기저의 원소수에 대해 알아본다 여기서 A는 v의 basis이다 여기서 m개의 원소를 가지는 집합 B가 주어졌을 때 이 집합은 V를 생성할까? 이 때 $B'_1$이라는 벡터 집합이 주어지며 A집합의 원소인 $\vec{a_1}$가 원소로 추가되었다. 이 집합은 선형 종속을 이룬다 $B'_1$의 원소를 $\vec{a_1}$을 기준으로 정리해보면 $\vec{a_1}$을 제외한 나머지 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 여기서 선형결합을 이루는 스칼라 값 중 $d_j$가 0이 아니라고 하자. 그리고 $b_j$를 기준으로 식을 정리하게 되면 다른 원소들의 선형 결합으로 $b_j$를 나타낼 수 있기 때문에 $b_j$가 없어도 V를 span할 수 있다 그래서 $b_j$ 를 $b_1$을 바꾸고 집합 $B..

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