DA_DS_AI_ML (84) 썸네일형 리스트형 [Khan Academy] Visualizing a column space as a plane in R3 (3차원에서 열공간을 평면으로 시각화하기) 이번 시간에는 지난시간에 구한 행렬 A의 열공간과 기저를 이용해 열공간을 평면으로 나타내는 방법에 대해 알아본다. 먼저 두 벡터를 3차원 좌표평면계에 나타낸다. 이 두 벡터가 이루는 공간은 면임을 알 수 있다 먼저 평면의 방정식을 통한 (법선벡터를 통한) 면의 방정식을 구해보자 법선 벡터는 두 벡터의 외적이므로 두 벡터를 외적해 구한다. 정리된 면의 방정식은 $5x-y-z=0$이 되며, 이는 A의 열공간이자 원점을 지나가는 면이다. 원점을 지나가는 이유는 다음과 같다 행렬의 열공간이다 = 유효한 부분집합 = 영벡터를 포함 또한 두 벡터의 외적으로 법선벡터가 만들어진다는 것은 다음과 같은 의미를 지닌다 기반이 되는 두 벡터가 평면에 완전히 포함된다 따라서 외적을 통해 평면에 수직인 법선 벡터를 구할 수 있.. [Khan Academy] Null space and column space basis (영공간과 열공간의 기저) 이번시간에는 행렬의 영공간과 열공간의 기저를 판단하는 내용을 알아본다. 3*4 행렬 A가 주어졌을 때 이 행렬의 열공간은 위와 같이 주어진다. 여기서 드는 의문은 다음과 같다 basis가 존재하는가? 선형독립을 띄는 벡터가 존재하는가? 공간을 어떻게 시각화 우선 선형독립인 벡터를 찾기 위해서는 영공간을 찾아본다. 기약행사다리꼴로 행렬을 정리한 뒤 pivot variable로 식을 정리하면 다음과 같이 정리된다 $$x_1 = -3x_3-2x_4\\n x_2 = 2x_3+x_4$$ 이제 이 정리된 방정식으로 행렬 A의 영공간을 나타내면 free variable과 곱해진 벡터가 이루는 span과 같이 정리된다 그렇다면 이번에는 행렬 A의 열들이 선형 독립인지 알아보자 벡터가 선형 독립이라는 것은 $A\vec{.. [Khan Academy] Column space of a matrix (행렬의 열공간) 이번시간에는 행렬의 영공간에 대해 알아본다 m x n 행렬을 이루는 열벡터가 모두 m차원이라면, 열공간은 각 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 이 때 열공간은 각 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있으며, 행렬 A의 열공간은 각 벡터들로 구성된 span이다. 그렇다면 행렬 A의 열공간에 벡터 a가 원소로 포함되어 있을 때 열공간이 유효한 열공간인지 알아보자 벡터 a는 덧셈에 닫혀있는가? 이를 위해 벡터 a와 우변에 스칼라값 S를 곱해준다. 그리고 벡터 b가 열공간의 원소라고 할 때, 스칼값 $b_n$을 곱한 벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있다고 하자. 이후 $\vec{a}+\vec{b}$를 수행하면 벡터들의 또 다른 선형결합이 되므로, C(A)는 유효한 부분공간이 된다 두번째로는 벡터 x의 값은 $\m.. [Khan Academy] Null space 3: Relation to linear independence (영공간 3 : 선형결합과의 관계) 이번시간에는 영공간과 선형독립간의 관계를 살펴본다. m x n의 행렬 A가 주어졌고, 행렬의 각 열을 m차원의 벡터라고 생각하자. 앞서 보았던 영공간의 수식을 다시 보면 벡터 x의 차원이 n차원임을 알 수 있다. 이는 행렬이 m x n 이기 때문이다. 위의 영공간의 정의를 다시 행렬과 벡터의 곱으로 나타냈다. 이를 수식으로 나타내면 열벡터와 스칼라값이 곱해져 더해진 것이 영벡터이다. 따라서 행렬 A를 이루는 열벡터는 서로 선형 독립임을 알 수 있고, 이는 벡터의 유일한 해가 0이라는 것이고, 행렬 A의 영공간이 영벡터만 있다는 것을 의미한다. 본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다. Vectors and spaces | Linear algebra | Math | Khan Academ.. [Khan Academy] Null space 2: Calculating the null space of a matrix (영공간 구하기) 이번 시간에는 영공간을 어떻게 구하는지 알아본다. 영공간은 행렬과 곱했을 때 영벡터가 나오는 모든 벡터의 집합을 말한다. 3 x 4의 행렬 A가 주어졌을 때 이를 $x_1, x_2, x_3, x_4$를 곱했을 때 영벡터가 나오게 하는 벡터의 집합을 N(A) (영공간)이라고 한다 영공간을 구하는 방법은 주어진 행렬의 방정식을 만족시키는 해를 구하는 것이다. 주어진 행렬과 영벡터를 행렬로 만든 뒤 다시 기약행사다리꼴로 바꾼다. 그리고 다시 방정식으로 변환한 뒤 $x_1$과 $x_2$로 정리한다. 정리한 식을 다시 두 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있으며 두 열벡터의 선형결합이 해집합이 된다. 따라서 선형결합을 이루는 벡터는 영공간의 Span이 된다. 본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니.. [Khan Academy] Introduction to the null space of a matrix (행렬 영공간 1) 이번시간에는 영공간(null space)에 대해 알아본다. 그 전에 부분집합에 대해 다시 한 번 집고 넘어가자. 부분 집합이 되기 위한 조건은 다음과 같다. 1. 영벡터를 포함한다 2. 덧셈에 대해 닫혀있다 3. 곱셈에 대해 닫혀있다 m x n 행렬 A가 주어졌을 때 $\mathbb{A}\vec{x}=\vec{0]$의 동차방정식도 주어졌다고 하자 이 때 집합 N이 부분공간을 만족할지 알아보자 먼저 영벡터를 포함하는지 확인한다. 행렬 A에 영벡터를 곱하면 영벡터가 나오므로 영벡터는 집합 N의 원소이다. 따라서 영벡터가 존재한다 두 번째로는 덧셈에 대해 닫혀있는지 확인한다 집합 N의 원소인 $\vec{v_1}$과 $\vec{v_2}$가 주어졌을 때 행렬 A와 두 벡터를 곱한 값이 영벡터가 나오는 것을 확인하.. [Khan Academy] Matrix vector products (행렬 벡터 곱셈) 이번시간에는 행렬-벡터 곱의 관계에 대해 알아본다. m x n 행렬 $\mathbb{A}$와 n x 1의 벡터 $\vec{x}$가 있을 때 두 개를 곱하기 위해서는 열벡터의 열의 개수와 벡터의 개수가 동일해야 한다. 예를들어 예제 1과 같이 2 x 4의 행렬과 4 x 1의 벡터가 주어졌을 때 둘을 곱해보자. 연산의 결과는 [4 32]가 된다. 이 때 행렬의 각 행을 벡터로 생각해보자. $\vec{a_1}$과 $\vec{a_2}$가 열벡터로 된 것을 행벡터로 바꾸게 된다. =>Transpose! 열벡터였던 두 벡터를 행벡터로 전치행렬로 변환하여 이를 기존 행렬에 대입힌다. 따라서 열벡터의 내적 = 전치행렬과의 내적임을 할 수 있다. 또 다른 예시로는 A벡터의 열벡터를 고려하는 것이다. 행렬 A를 열벡터의 .. [Khan Academy] Using matrix row-echelon form in order to show a linear system has no solutions (행사다리꼴을 이용한 선형계에 해 없음 나타내기) 이번 시간에는 행사다리꼴을 이용해 선형계에는 해가 없다는 것을 보인다. 변수 개수보다 식의 개수가 적은 연립방정식은 해가 무수히 많거나 없을 수 있다. 이를 보이기 위해 주어진 방정식을 행렬을 통해 정리한다. 기약행사다리꼴로 정리된 행렬에 pivot entry가 있음을 확인하였다. 하지만 문제가 있다. 문제를 알아보기 위해 행렬을 다시 방정식으로 바꿔본다. 마지막에 "0=-4"로 성립할 수 없는 식이 나온다. 따라서 세 식을 모두 만족하는 값을 찾을 수 없으며 이는 4차원 공간에서 서로 교차하지 않는다는 것을 알 수 있다. 공간에서 교차하지 않아 해가 없다는 뜻을 3차원 공간에서 알아보자. 평행하는 두 면의 방정식이 주어졌을 때 두 방정식을 빼면 변수 항은 0이 되고 평행이동 계수항은 3이 되며 방정식이.. 이전 1 ··· 5 6 7 8 9 10 11 다음
