분류 전체보기 (136) 썸네일형 리스트형 [Khan Academy] Projection is closest vector in subspace (부분공간에서의 정사영은 가장 가까운 벡터이다) 이번 시간에는 부분공간으로 정사영한 벡터와 원래 벡터의 사이에 생긴 벡터가 가장 짧은 거리임을 보인다. 벡터 x를 부분공간 V에 정사영시킨다. 벡터 x에서 정사영한 x의 벡터까지의 벡터를 a라고 하고 이는 가장 짧은 벡터가 된다. 여기에 V의 임의벡터 v가 주어졌다. 임의의 벡터 v에서 벡터 x까지의 벡터는 $\vec{x}-\vec{v}$가 될 것이다. 벡터 v에서 정사영 벡터 x까지의 벡터를 벡터 b라고 하자. 벡터 x에서 벡터 v를 뺀 길이의 제곱은 벡터 a와 벡터 b를 더한 값의 제곱과 같은데, 식을 정리하면 위와 같이 된다. 따라서 $||\vec{x}-\vec{v}||>=||\vec{x}-Proj_V\vec{x}||$ 본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다. Alternate.. [Khan Academy] Another example of a projection matrix (변환 행렬의 다른 예제) 이번 시간에는 정사영식의 변환 행렬을 다른 방법으로 구해본다. 부분공간 V가 위와 같이 주어졌을 때 V로의 벡터 x의 정사영은 어떻게 나올까? 앞선 시간에 배운 것 처럼 기저를 통해 행렬을 구하는 방법이 있을 것이다. 하지만 이 방법은 연산이 길기 때문에 직교여공간의 관계를 통해 변환 행렬을 구해본다. V로의 벡터 x의 정사영 식에서 행렬 더미를 B라고 하고, 직교여공간으로의 벡터 x의 정사영 식을 행렬 C와 벡터 x의 곱으로 나타내보자. 여기서 부분공간과 이의 직교여공간의 관계를 다시 생각해본다. 따라서 행렬 B는 3차원의 identity 행렬과 직교여공간의 변환 행렬의 차로 구성된다. 다시 부분공간 V를 고려하면, 이는 원소가 모두 1인 벡터와 V의 원소벡터를 곱한 것이 영벡터를 만족하는 것이다. 이.. [Khan Academy] Subspace projection matrix example (부분공간 정사영 행렬 예제) 이번시간에는 부분공간으로 정사영할 때의 행렬을 구하는 방법에 대해 알아본다. 부분공간 V가 주어졌고, 이를 생성하는 벡터가 기저벡터가 된다. 벡터 x가 4차원의 원소일 때 위와 같이 정사영 식을 구할 수 있다. 정사영 식에서의 새로운 행렬 더미를 구하기 위해 위와 같이 벡터 V의 기저벡터를 행렬 A로 만들어 필요한 행렬을 구하였다. 따라서 부분공간 V로 벡터 x를 정사영 시킬 경우 이의 변환 행렬은 마지막과 같이 나오게 된다. 본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다. Alternate coordinate systems (bases) | Linear algebra | Math | Khan Academy We explore creating and moving between various.. [Khan Academy] A projection onto a subspace is a linear transformation (부분공간으로의 정사영은 선형변환이다) 이번 시간에는 부분공간으로의 정사영이 선형변환인지 알아본다. V가 n차원의 부분공간이고, 벡터 a가 부분공간 V의 원소라 하자. 이 때 벡터 a를 V의 기저를 이용한 선형결합으로 나타낼 수 있다. 이는 벡터 a를 행렬 곱으로 나타낼 수 있다는 것과 같다. 여기서 n차원의 벡터 x를 부분공간 V로 사영시킨 것은 부분공간 V의 원소가 되며, 따라서 벡터 x는 V로 사영시킨 벡터 x와 부분공간의 직교여공간의 벡터를 더한 것으로 나타낼 수 있다. 여기서 벡터 A의 열공간이 부분공간을 형성한다. 따라서 좌영공간을 구했을 때 벡터 x에서 부분공간 V로 벡터 x를 뺀 값이 해당 공간의 원소가 된다 이는 행렬 A를 전치시킨 것과 앞서 구한 영공간의 원소를 곱했을 때 영벡터가 나온다는 의미이다 또한 부분공간 V로 사영시.. [Khan Academy] Visualizing a projection onto a plane (평면에 정사영 시각화하기) 이번 시간에는 평면 위로 정사영을 시각화 하는 법을 배운다. 먼저 직선 위에서 살펴보자. 직선 L로의 벡터 x를 벡터 v라고 해보자. 이 때 벡터 w와 벡터 v를 더하여 부분공간으로 표현할 수 있다. 이번에는 면에서의 정사영을 살펴보자. 면이라는 부분공간 V가 주어지고, 이의 직교여공간이 주어졌다. 벡터 x를 부분공간 V로 사영시켰을 때, 벡터 v는 부분공간 V의 원소이고 , 벡터 w가 직교여공간의 원소일 경우 벡터 x를 이 두 벡터의 합으로 나타낼 수 있다. 따라서 부분공간으로 사영시킨 벡터 x는 부분공간 V의 직교여공간의 원소들과 직교한다는 것을 의미한다. 본 포스팅은 칸아카데미의 선형대수학을 기반으로 작성하였습니다. Alternate coordinate systems (bases) | Linear .. [Khan Academy] Projections onto subspaces (부분공간으로의 정사영) 이번 시간에는 부분공간의 정사영에 대해 알아본다. 이전 시간에 배운 내용은 2차원에서 직선으로의 정사영이었다. 그렇다면 임의의 부분공간에서의 projection은 어떻게 될까? 부분공간 V와 V의 직교여공간, 벡터 x가 모두 같은 차원에 속해있다. 따라서 벡터 x를 부분공간 V로 사영시킬 경우 부분공간의 벡터 v로, 직교여공간으로 사영시킬 경우 직교여공간의 벡터 w가 된다. 지난시간에 사용한 행렬 A의 영공간과 행공간이다. 지난시간에 배운 해공간을 추가해 좌표평면위에 나타내었다. 여기서 원점에서 해공간으로 향하는 벡터를 벡터 s라고 할 때 이는 행공간의 벡터와 영공간의 벡터를 더한 것으로 표현할 수 있다. 여기서 행공간으로의 해 벡터의 정사영은 행공간의 원소가 되며, 이는 직선에 대한 정사영 정의와 같음.. [Khan Academy] Rowspace solution to Ax = b example (Ax=b의 행공간 해 예제) 이번 시간에는 Ax=b의 행공간 해의 예제를 살펴본다. 행렬 A와 벡터 b가 주어졌을 때의 행공간, 영공간, 해집합의 관계를 알아보자. 기약행사다리꼴로 행렬을 변환한 뒤 pivot 변수를 기준으로 해를 정리한다. 이 때 영공간은 위와 같이 된다. 이번에는 $A\vec{x}=\vec{b}$를 나타내보자 첨가행렬로 기약행사다리꼴을 정리한다. 해집합은 위와 같이 나온다 행공간은 위와 같이 나온다 위에서 구한 각 공간과 집합을 좌표평면에 나타냈다. 여기서 행공간에 있으며 해집합에 한 점을 가리키는 벡터r이 존재하며, 이는 가장 짧은 해가 된다. 여기서 벡터 r은 행공간의 span의 scaling으로 나타낼 수 있다. 이 때 해집합에 있는 벡터 k는 평행이동을 하여 영공간의 원소로 나타낼 수 있다. 즉, 행공간의.. [Khan Academy] Unique rowspace solution to Ax = b (Ax=b의 고유한 행공간 해) 이번시간에는 행공간에서의 유일한 해를 보인다. 행렬 A가 주어지고, 벡터 b는 행렬 A의 열공간의 원소일 때, 이는 행렬 A의 열벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 즉 $A\vec{x}=\vec{b}$를 만족하는 원소가 적어도 하나는 존재한다는 것이다. n차원 공간에 행렬 A의 영공간과 행렬 A의 영공간의 직교여공간이 주어졌다. 각 공간에서 벡터 n과 벡터 r이 주어진다. n차원에 있는 임의의 벡터를 x라고 할때, 이는 $A\vec{x}=\vec{b}$의 해가 된다. 벡터 x는 영공간($vec{n_0}$과 영공간의 직교여공간($vec{r_0}$)의 합으로 나타낼 수 있다. $\vec{r_0}=\vec{x}-\vec{n_0}$라고 하자 행렬 A에 이를 곱하게 될 경우 벡터 b가 나오게 된다. 따라서 $\.. 이전 1 2 3 4 5 6 7 ··· 17 다음
