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[Khan Academy] Distance Between Planes (두 면 사이 거리 구하기) 이번 시간에는 문제를 통해 두 면 사이 거리를 구하는 방법에 대해 알아본다. 문제는 다음과 같다 방정식 Ax-2y+z=d를 만족하는 평면과 두 직선 $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$와 $\frac{x-2}{3}=\frac{y-3}{4}=\frac{z-4}{5}$를 포함하는 평면 사이 거리가 $\sqrt{6}$일 때 d의 절댓값은? 두 평면의 거리를 구할 수 있다 = 두 평면은 평행하다 두 평면이 평행하다 = 면의 방정식에서 상수 d를 제외한 나머지 항의 계수가 같다 =>이 성질을 이용하기 위해 하늘색 면의 방정식부터 구해보자 먼저 하늘색 평면위 두 벡터를 구해 외적한 뒤 법선 벡터를 구한다 그 전에 하늘색 평면 위의 점 세개를 구해 벡터 두 개를 구한다. 평면..
[Khan Academy] Point distance to plane (평면 밖 점과 평면 사이 거리 구하기) 이번시간에는 평면 밖에 있는 점과 평면 사이 거리를 구해본다. 면 밖에 있는 점과 평면까지 최단거리는 어떻게 구할 수 있을까? 평면 밖에 한 점을 잡는다. 평면 위의 한 점을 잡는다. 평면위의 한 점부터 평면 밖의 점까지 벡터f를 구한다. 평면 밖 점에서 평면위로 수선의 발을 내린다. 수선의 발로 생긴 직선이 우리가 구해야 하는 높이 d가 된다. 그렇다면 이 d, 어떻게 구할 수 잇을까? 바로 삼각함수를 통해 구할 수 있다 벡터 f와 높이 d가 이루는 각을 기준으로 삼각함수 중 cos을 이용하면 h를 구할 수 있게 된다. $||\vec{f}||cos\theta=d$로 식을 정리할 수 있다. $\theta$는 어떻게 구할 수 있을까? 바로 법선벡터와 벡터 f로 구할 수 있다 법선 벡터도 면에 수직인 벡터이..
[Khan Academy] Normal vector from plane equation (면 방정식에서의 법선 벡터) 이번시간에는 면방정식이 주어졌을 때 법선벡터를 구하는 방법을 알아본다. 크기가 한정되지 않은 면 위에 법선벡터 n을 그린다. 이후 면 위에 한 점을 잡는다 좌표축을 그린 뒤 면 위의 한 점까지 위치벡터$p_1$으로 나타낸다. 면 위에 또 다른 임의의 점을 잡고 이를 위치벡터 $p$로 나타낸다. 이렇게 면 위의 두 점을 잡고 각각을 위치벡터로 나타내는 이유는 면의 방정식을 구하는 강의에서 나온 내용이다. 두 벡터의 차이를 이용해 면 위에 존재하는 벡터를 찾을 수 있다. $\vec{p}$와 $\vec{p_1}$의 차이 = 면 위의 있는 벡터 따라서 면 위에 있는 벡터인 $\vec{p}-\vec{p_1}$을 구하게 되었다. 면의 방정식에서 면 위의 존재하는 벡터와 법선벡터를 내적한 값은 0이라고 배웠다. 이를..
[Khan Academy] Vector triple product expansion (very optional) (삼중적) 이번 시간에는 삼중적을 내적으로 구하는 방법을 알아본다. 벡터 a, b, c가 주어졌다. 먼저 벡터 b와 c의 외적을 구해보자. 외적 값은 $\hat{i}(v_yc_z=b_zc_y)-\hat{j}(b_xc_z-b_zc_x)-\hat{k}(b_xc_y-b_yc_x)$ 이제 벡터 b, c를 외적해 나온 벡터와 벡터 a를 외적한다. 먼저 x 성분(단위벡터가 $\hat{i}$인 부분)부터 외적해보자 외적 값으로 $\hat{i}(a_yb_cc_y-a_yb_yc_x-a_xb_zc_x+a_zb_xc_z)$가 나오는데, 여기에 계산을 편리하게 하기 위해 $a_xb_xc_x-a_xb_xc_x$을 더해준다. 이제 식을 $b_x$와 $c_x$로 묶어 정리하면 각각 $\vec{a}\cdot\vec{c}$, $\vec{a}\c..
[Khan Academy] Proof: Relationship between cross product and sin of angle (외적과 sin의 관계) 두 벡터와 사이 끼인각이 존재 할 때 이 각의 크기는 어떻게 구할까? =>내적의 성질을 이용해 구할 수 있다. 내적 공식에는 cos 함수가 포함된다. 이를 이용해 두 벡터 사이 각을 구할 수 있다. 내적 공식을 정리해 $\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert}=cos\theta$에서 양변에 arccos을 취해주면(cos의 역함수) $\theta$로 정리된 식이 나와 각도를 구할 수 있다. 내적의 성질을 이용해 또 다른 내적의 의미를 이끌어 낼 수 있다. $cos\theta=\frac{빗변}{밑변}$임을 이용해보자 벡터 a,b가 주어졌을 때 벡터 a에서 b로 수선의 발을 내려 밑변을 만든다. $\Vert\vec{a}\Vert cos\t..
[Khan Academy] Proof: Relationship between cross product and sin of angle (내적과 사인의 관계 증명) 이번시간에는 sin을 통한 외적의 절댓값 구하는 법과 이 과정을 증명하며 외적과 sin간의 관계를 보인다. 외적과 사인의 관계는 다음과 같다. $$\Vert\vec{a}\times\vec{b}\Vert=\Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert sin(\theta)$$ 외적의 절댓값의 제곱 = 외적하는 벡터 각 성분 제곱의 합 이를 이용해 식을 전개한다. 그리고 마지막에 정리된 초록색 하이라이트 식을 기억한다. 여기서 내적의 기억을 다시 가져와보자. $\vec{a}\cdot\vec{b} = \Vert\vec{a}\Vert\Vert\vec{b}\Vert cos{\theta) = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ 각 항에 제곱을 곱해 전개하여 정리한다. 정리된 식에서 앞서 본 초록색..
[Khan Academy] Cross product introduction (외적 intro) 이번시간에는 외적에 대해 알아본다. n차원에서도 적용할 수 있는 내적과 달리 외적은 오직 $\mathbb{R^3}$에서만 적용할 수 있다. 외적은 다음과 같이 정의된다 $$given \,\,\,\,\,\, \vec{a},\vec{b}\in\mathbb{R^3}$$ $$\vec{a}\times \vec{b}=\left[ \begin{matrix} \ a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\\ \end{matrix} \right]$$ 공식에 실제 벡터를 대입해 연산해 볼 수 있다. 그래서 대체 외적은 무슨 의미를 가지는 것일까? 바로 외적한 두 벡터와 외적 결과로 나온 벡터가 서로 직교(othogonal)관계라는 것이다. 위의 내용을 시각화하면 위에 있는 그림처럼 ..
[Khan Academy] Defining a plane in R3 with a point and normal vector (3차원 공간에서의 점과 법선벡터로 면 정의하기) $\mathbb{R^3}$에서 한 면이 있고, 면 위의 점 (x,y,z)가 있을 때 이를 면에 대한 방정식으로 나타내면 다음과 같다. $$Ax+By+Cz=D$$ 법선벡터란?(normal vector) 면(plane)에 있는 모든 곳에 수직(perpendicular)인 벡터 이 때 면 위에 있는 벡터 a는 법선벡터 n과 내적을 하게 될 경우, 0이 되며, 두 벡터가 이루는 각도는 90도가 된다. 또한 면 위에 있는 벡터는 모두 법선벡터와 내적값 0, 90도의 사이각을 이루게 된다. Q) 법선벡터와 평면위의 점이 하나 주어졌을 때 이를 면의 방정식으로 만들 수 있는가? 먼저 평면위의 점을 위치벡터 $\vec{x_0}$로 나타내면 황색과 같은 원점에서 시작하는 벡터가 면에 닿는 것이 그려진다. 그렇지만 아직 ..

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